A^n - B^n

[DR1]

Quanto fà $ a^n - b^n $ ?
Perchè ?

[axpgn]

Perché de che? Se lo sai perché lo chiedi ...

Comunque ... si scompone così ...

$a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b^1+...+ab^(n-2)+b^(n-1))$

da cui anche

$(a^n-b^n)/(a-b)=(a^(n-1)+a^(n-2)b^1+...+ab^(n-2)+b^(n-1))$

[Kashaman]

Prova a dimostrarlo per induzione su n.

[DR1]

$(a^(n-1)+a^(n-2)b^1+...+ab^(n-2)+b^(n-1)) = (a-b)^(n-1) $

[axpgn]

Cosa significa quello che hai scritto? Non è quello che ho scritto io ...

[axpgn]

Partiamo da questa ...
$(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b^1+...+ab^(n-2)+b^(n-1))$
moltiplicando abbiamo
$(a*a^(n-1)+a*a^(n-2)b^1+...+a*ab^(n-2)+a*b^(n-1))+(-b*a^(n-1)-b*a^(n-2)b^1-...-b*ab^(n-2)-b*b^(n-1))$
e quindi
$(a^n+a^(n-1)b^1+...+a^2b^(n-2)+ab^(n-1))+(-a^(n-1)b-a^(n-2)b^2-...-ab^(n-1)-b^n)$
e perciò semplificando
$a^n-b^n$

[DR1]

Come si chiama questa scomposizione $ (a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b^1+...+ab^(n-2)+b^(n-1)) $ ?
Dove posso trovare la sua definizione ?

[axpgn]

Differenza di potenze; questa $a^n-b^n$ si chiama differenza di potenze (ovviamente con lo stesso esponente).
La definizione è semplicemente questa, e quella di sopra ne è la dimostrazione.

[DR1]

Trovato Differenza tra due potenze ennesime e per $a^n+b^n$ (n non dispari) ?
Sotto la voce Prodotto della somma di due o più termini per la loro differenza

[axpgn]

Mi lascia perplesso il fatto che l'abbiano infilata come caso particolare in quel paragrafo ...
Qui (http://www.ripmat.it/mate/a/ad/ad6d.html) sarà meno elegante, ma forse più completo --- IMHO