AM3: linearità di una PDE

[alex3691]

Salve forum,
a breve dovrò sostenere l'esame di Analisi III ma su alcuni concetti semplici ancora non ci sono. In particolare, un argomento che mi mette in difficoltà è la definizione (credo formale) di una PDE lineare e quasi-lineare.
Precisamente, la mia docente le ha così definite:
1)
$ bar(x) $ = $ (x_1, x_2, ..., x_N) $ $ rarr $ $F(x_1, x_2, ..., x_N, u_{x1}, u_{x2}, u_{x1x2}, u_{x1,x2}, ..., u_{xNxN}) = F(bar(x),bar(u_x),bar(u_{xx}))$
Definizione: F è lineare per $ bar(x),bar(u_x),bar(u_{xx}) hArr $ Equazione PDE lineare

2)
Forma generale di un'equazione lineare del secondo ordine:
$ a(x,y)u_{xx}+2b(x,y)u_{xy}+c(x,y)u_{yy}+d(x,y)u_x +e(x,y)u_y +h(x,y)u = f(x,y) $
Esempio di 2D quasi lineare:
$ a(x,y,u,u_x,u_y)u_{xx}+2b(x,y,u,u_x,u_y)u_{xy}+c(x,y,u,u_x,u_y)u_{yy}=f(x,y,u,u_x,u_y) $
In tale esempio l'operatore L è lineare solo rispetto alle derivate seconde. Affinché sia del secondo ordine lineare, l'operatore L deve essere lineare rispetto a tutti gli ordini di integrazione.

Ora il mio dubbio è...
Assodato che la prima definizione non sia proprio formale, una equazione dovrebbe essere lineare quando il massimo grado delle incognite è pari a uno. Nel caso 1) le incognite u sono tutte di grado unitario, quindi l'equazione è lineare (correggetemi se sbaglio). Ma non è lo stesso anche nel caso 2) ?

[walter891]

nel caso 2 ci sono i coefficienti tipo $a(x,y,u,u_x,u_y)$ che in generale possono essere funzioni non lineari, quindi le uniche incognite sicuramente di grado 1 sono quelle che stanno fuori da questi coefficienti, cioè le derivate di ordine massimo.

[dissonance]

Aggiungo che la definizione generale è sbagliata. Non è vero che $F=F(x, u, D u, D^2 u )$ (con $Du,D^2u$ a indicare l'insieme delle derivate prime e seconde) deve essere lineare rispetto a $x$. L'importante è che sia lineare rispetto a $u$ e alle sue derivate.