[AM2] Funzioni implicite, esercizio

[GYX2]

Sera a tutti Avrei un quesito da porvi, parzialmente risolto.
Inizio col ringraziare chi mi darà una mano

Data la funzione $F(x,y)=x^2+2y^3+xy-4y^2+2y$, stabilire:

a) se l'equazione $F(x,y)=0$ è risolubile rispetto ad almeno una delle variabili in un intorno di $(0,1)$;
b) in caso affermativo, detta $g(\cdot)$ una delle due funzioni implicite, calcolare $g'(1)$ ed interpretare geometricamente il risultato.

Risoluzione:

$f_x(x,y)=3x^2+y$
$f_y(x,y)=6y^2+x-8y+2$

$f(0,1)=2-4+2=0$
$f_x(0,1)=1!=0$
$f_y(0,1)=6-8+2=0$

È possibile, quindi, definire la funzione implicita $g(y)=x$, tale che $f(g(y),y)=0$.

Definiremo

$g'(y)=-(f_y(g(y),y))/(f_x(g(y),y))=-(6y^2+g(y)-8y+2)/(3g(y)^2+y)$

Ora dovrei calcolare $g'(1)$

$g'(1)=-(g(y))/(3g(x)^2+1)$

Ma come potrei e dovrei interpretarlo?

[Quinzio]

"GYX":Sera a tutti Avrei un quesito da porvi, parzialmente risolto.
Inizio col ringraziare chi mi darà una mano

Data la funzione $F(x,y)=x^2+2y^3+xy-4y^2+2y$, stabilire:

a) se l'equazione $F(x,y)=0$ è risolubile rispetto ad almeno una delle variabili in un intorno di $(0,1)$;
b) in caso affermativo, detta $g(\cdot)$ una delle due funzioni implicite, calcolare $g'(1)$ ed interpretare geometricamente il risultato.

Risoluzione:

$f_x(x,y)=3x^2+y$
$f_y(x,y)=6y^2+x-8y+2$

$f(0,1)=2-4+2=0$
$f_x(0,1)=1!=0$
$f_y(0,1)=6-8+2=0$

È possibile, quindi, definire la funzione implicita $g(y)=x$, tale che $f(g(y),y)=0$.

Aspetta, con le derivate parziali che hai giustamente trovato puoi solo dire che esiste una funzione $g(y)$, in un intorno di $(x_0,y_0)=(0,1))$ tale che $g'(y_0)=(f_y)/(f_x)=0$.

Fine, non puoi dire molto altro.

Interpretazione geometrica: la curva di livello che passa per (0,1) ha in quel punto tangente verticale (parallela asse y).

[GYX2]

Grazie per la risposta

Quindi quello che ho scritto dopo

È possibile, quindi, definire la funzione implicita $g(y)=x$, tale che $f(g(y),y)=0$.

è un mare di boiate?

"Quinzio":
Interpretazione geometrica: la curva di livello che passa per (0,1) ha in quel punto tangente verticale (parallela asse y).

Come deduci questa interpretazione?

[Quinzio]

"GYX":Grazie per la risposta

Quindi quello che ho scritto dopo

È possibile, quindi, definire la funzione implicita $g(y)=x$, tale che $f(g(y),y)=0$.

è un mare di boiate?

Se $g'(y)=0$ è impossibile che sia $g(y)=x$... ti torna ?

"Quinzio":
Interpretazione geometrica: la curva di livello che passa per (0,1) ha in quel punto tangente verticale (parallela asse y).

Come deduci questa interpretazione?

Cos'è una curva di livello ?

[GYX2]

Mi torna..
Una curva di livello è un intorno di un punto dove la funzione assume sempre lo stesso valore, più o meno. E riesco anche ad immaginarmi come dovrei interpretare una cdl che passa per (0,1) con tangente verticale, ma come posso dedurlo da g'(1)? Devo forse considerare la funzione

$g'(1)=-(f_y(x,1))/(f_x(x,1))=0$

e cioè, nel mio caso

$g'(1)=-x/(3x^2+1)$

?

Scusa se sono una rottura di cohones .-.

[GYX2]

Pardon, per un lasso di tempo indeterminato ho rimosso il significato geometrico della derivata prima.
Grazie per avermi sopportato e supportato