Altro limite...
\(\displaystyle \lim \) \(\displaystyle \frac{xe^{-\frac{1}{x^2}} - x^3}{sen4x - e^{2x} ln(1+4x)} \)
\(\displaystyle x \rightarrow 0 \)
In questo caso come bisogna agire? in x=o l'esponenziale del numeratore si può calcolare? se facessi una sostituzione \(\displaystyle x= \frac{1}{t} \) poi avrei problemi con il seno etc etc?? spero che si sia capito il mio problema...
\(\displaystyle x \rightarrow 0 \)
In questo caso come bisogna agire? in x=o l'esponenziale del numeratore si può calcolare? se facessi una sostituzione \(\displaystyle x= \frac{1}{t} \) poi avrei problemi con il seno etc etc?? spero che si sia capito il mio problema...
Risposte
Ora mi è venuto in mente di moltiplicare e dividere tutto per \(\displaystyle 4x \), così al denominatore ho \(\displaystyle 1 - e^{2x} \)?
"davidedesantis":
Ora mi è venuto in mente di moltiplicare e dividere tutto per \(\displaystyle 4x \), così al denominatore ho \(\displaystyle 1 - e^{2x} \)?
Al numeratore hai che $x e^(-1/x^2)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x^3$, quindi può essere trascurato.
Il denominatore invece lo puoi sviluppare con Taylor...
Come esercizio, se ti va, puoi provare che $x e^(-1/x^2)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x^alpha$ , $ AA alpha > 0$. Si dirà in questo caso che l'ordine di infinitesimo è soprareale.
prima di procedere volevo chiederti:
1) quindi non posso usare i limiti notevoli come ho fatto anche dopo aver trascurato ciò che mi hai fatto vedere?
2) se sì allora il denominatore posso scriverlo come \(\displaystyle -2x \) usando un altro limite notevole?
3)il fatto che al numeratore non ci siano \(\displaystyle opiccoli \) non crea problemi?
4)se dovessi sviluppare con taylor, devo arrivare fino al terzo ordine per tutte le tre funzioni?
ps certo con piacere faccio quell'esercizio! grazie! non basterebbe sapere che l'esponenziale è più veloce?
1) quindi non posso usare i limiti notevoli come ho fatto anche dopo aver trascurato ciò che mi hai fatto vedere?
2) se sì allora il denominatore posso scriverlo come \(\displaystyle -2x \) usando un altro limite notevole?
3)il fatto che al numeratore non ci siano \(\displaystyle opiccoli \) non crea problemi?
4)se dovessi sviluppare con taylor, devo arrivare fino al terzo ordine per tutte le tre funzioni?
ps certo con piacere faccio quell'esercizio! grazie! non basterebbe sapere che l'esponenziale è più veloce?
1) Secondo me no. Nel senso che è meglio non convincersi sia possibile mandare al limite soltanto "qualche pezzo" della funzione alla volta; cosa, in effetti, che faresti se mi dici che vuoi arrivare a $1 - e^(2x)$.
3) Non ne crea, ma se ci tieni al posto dell'esponenziale che hai trascurato puoi scrivere $o(x^3)$ (oppure $o(x^999)$, visto che l'infinitesimo è di ordine soprareale). Non hai problemi da quel punto di vista.
4) Dovresti arrivare fino ad un'ordine per cui non ti rimanga solo l'o-piccolo come sviluppo (e le potenze di $x$ si ammazzino a vicenda).
3) Non ne crea, ma se ci tieni al posto dell'esponenziale che hai trascurato puoi scrivere $o(x^3)$ (oppure $o(x^999)$, visto che l'infinitesimo è di ordine soprareale). Non hai problemi da quel punto di vista.
4) Dovresti arrivare fino ad un'ordine per cui non ti rimanga solo l'o-piccolo come sviluppo (e le potenze di $x$ si ammazzino a vicenda).
ok capisco...ora ci provo, comunque nella moltiplicazione al denominatore posso sempre non calcolare affatto quei termini che mi danno risultati all'esponente maggiori di 3 ad esempio? cioè questa cosa vale sempre...
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