Altro integrale per voi

[materions]

Ho problemi con questi integrali, chiedo aiuto...

$int (xdx)/(x^2 - 3x +2)$

$int (x+1)dx/(x^4 -6x^3 +13x^2 -12x +4)$

$int ((x^4)(1-x^2))/(1+x^2)^4$

Non so quale formule devo applicare per risolverli,
grazie in anticipo,
salve e tutti.

[_Tipper]

Per il primo:

$\frac{x}{x^2-3x+2}=\frac{x}{(x-2)(x-1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-1}$, per opportuni $A, B \in \mathbb{R}$, una volta determinate queste due costanti una primitiva risulta $A\ln|x-2| + B\ln|x-1|$.

[_Tipper]

Per il secondo devi procedere analogamente, scomponendo il denominatore e scrivendo la frazione in fratti semplici (posso dirti che una radice del denominatore è $x=1$, poi procedi con Ruffini...).

[_Tipper]

Per il terzo prova $x^2=t$, $2xdx=dt$, e guarda cosa succede...

[fabry1985mi]

Il primo integrale riguarda una funzione razionale fratta e basta quindi osservare che:
$x/(x^2-3x+2)=x/((x-2)(x-1))=A/(x-2)+B/(x-1)=(A(x-1)+B(x-2))/((x-2)(x-1))=(Ax+Bx-A-2B)/((x-2)(x-1))=((A+B)x -A-2B)/((x-2)(x-1))$
ora considerando il primo e l'ultimo membro dell'uguaglianza e sfruttando il principio di indentità tra polinomi si ottiene che:
$A+B=1$(uguaglianza tra i coefficienti di primo grado) e che $-A-2B=0$(uguaglianza tra i termini noti); il sistema ammette la soluzione $A=2$ e $B=-1$; dunque l'integrale può essere riscritto convenientemente:
$intx/(x^2-3x+2)dx=intx/((x-2)(x-1))dx=int[A/(x-2)+B/(x-1)]dx=int[2/(x-2) -1/(x-1)]dx=2log|x-2|-log|x-1|+c=log((x-2)^2/|(x-1)|)+c$