Altro esercizio sulla sommabilità.

[indovina]

Ho questa funzione, bisogna vedere se è integrabile e calcolarne l'integrale

$f(x) = (e^x)/(1+(e^(2x)))$

intervallo : $[0,+oo)$

$lim_(x->+oo) (e^x)/(1+(e^(2x))) * |x|^(alpha) = lim_(x->+oo) (e^x)/ ((e^(2x))(1/(e^(2x)))+1)$

semplificando si ha:

$lim_(x->+oo) (|x|^(alpha))/((e^x)*((1/(e^(2x)))+1)) = 0$

per $alpha >0$

è sommabile, dunque integrabile, ho calcolato anche l'integrale, ma mi urge di più sapere se va bene questo ragionamento.

[regim]

Va bene, ma ricorda che per valori di [tex]\alpha[/tex] minori uguali ad $1$, il confronto non serve a nulla, al massimo serve a negare la sommabilità.
Lo dico perchè anche l'altra volta ho notato che metti sempre [tex]\alpha > 0[/tex].

[indovina]

Ciao regim. Io questa volta ho messo $alpha > 0$ perchè ricordo che per il criterio del rapporto per le successioni e dunque credo anche per le funzioni $x$ in quanto per $lim_(x->+oo) (x^(alpha))/(e^x) = 0$ dovevo sottolineare questo passaggio nel primo post. Va bene pensarla cosi'?

[Camillo]

Io lo farei in modo più semplice senza questi confronti con $x^(alpha) $ che secondo me sono a volte più un impiccio che un aiuto

La funzione integranda è $ e^x/(1+e^(2x)) $ che per $ x rarr +oo $ è asintotica a $ e^x/e^(2x) = 1/e^x $ e va a $0 $ più rapidamente di qualunque funzione polinomiale di qualunque grado per quanto alto e quindi è integrabile .

[indovina]

Ok grazie camillo. Non ci avevo pensato.

Ora però integro quella $f$ vediamo se va bene

per sostituzione

$e^x = t$

$x = log t$

$x' = 1/t$

$\int (t/(1+t^2)) *(1/t) = \int 1/(1+t^2) = arctg t = arctg e^x $

devo vedere quanto vale nell'intervallo $[0,+oo)$

$ = (pi)/2 - (pi)/4 = (pi)/4$

va bene secondo voi?

[regim]

Va benissimo. Ciao