Altre formule dimenticate [o magari sconosciute?...]
Ragazzi
anche questa settimana siamo arrivati al venerdì e quindi distraiamoci un poco con qualche argomento ‘leggero’. Tempo fa in un post scritto da fireball mi ero ‘divertito’ a ricavare una formula di integrazione che non compare dei solito sui ‘tabulati’ [o almeno su quelli da me consultati in tanti anni…]. La formula in questione serviva al calcolo del seguente intregrale indefinito…
$int ln^n t*dt$ (1)
… con $n$ intero non negativo. La cosa non presenta a dire il vero difficoltà insormontabili. Basta eseguire una integrazione per parti e si trova…
$int ln^n t*dt= t*ln^n t-n*int ln^(n-1)t*dt$ (2)
… ovvero ci si riconduce ad un integrale simile all’originale con però l’esponente del logaritmo diminuito di una unità. Procedendo $n$ volte in questo modo si arriva diritto all’obiettivo…
$int ln^n t*dt= t*sum_(i=0)^n (-1)^i*(n!)/((n-i)!)*ln^(n-i) t + c$ (3)
… in cui $c$ è una ‘costante arbitraria’. Proviamo a dare qualche esempio…
$n=1 -> int ln t*dt= t*(ln t-1) +c$ (4)
$n=2 -> int ln^2 t*dt= t*(ln^2 t –2*ln t + 2)+c$ (5)
$n=3 -> int ln^3 t*dt= t*(ln^3 t-3*ln^2 t+6*ln t-6)+c$ (6)
… e cos’ via. Ora vediamo di trovare una espressione valida nel caso più generale del seguente integrale indefinito…
$int t^m*ln^n t*dt$ (7)
con $n$ e $m$ interi non negativi. Il procedimento è del tutto simile a quello già visto. Integriamo una volta per parti e otteniamo…
$int t^m*ln^n t*dt= t^(m+1)/(m+1)*ln^n t-n/(m+1)*int t^m*ln^(n-1)t*dt$ (8)
Come nella (2) anche in questo caso ci si riduce al calcolo di un integrale con l’esponente del logaritmo diminuito di una unità. Dopo $n$ iterazioni si arriva alla formula finale…
$int t^m*ln^n t*dt= t^(m+1)*sum_(i=0)^n (-1)^i/((m+1)^(i+1))*(n!)/((n-i)!)*ln^(n-i) t+c$ (9)
Interessante non è vero?… Lasciando a voi il divertimento di esplicitare l’espressione per vari valori di $n$ ed $m$, vediamo ancora alcune interessanti proprietà di funzioni del tipo $t^m*ln^n t$ con $n$ ed $m$ interi non negativi. Ad esempio quanto vale il limite seguente?…
$lim_(t->0) t^m*ln^n t$ (10)
Applicando una volta la regola dell’Hopital si ha…
$ lim_(t->0) t^m*ln^n t =lim_(t->0) (ln^n t)/(t^(-m))=$
$=lim_(t->0)- n/m*(ln^(n-1) t)/(t^(-m))$ (11)
Applicando $n$ volte la regola dell’Hopital si arriva alla espressione finale…
$lim_(t->0) t^m*ln^n t= lim_(t->0) (-1)^n (n!)/(m^n)*t^m=$
$=0$ per $m>0$, $=(-1)^n*oo$ per $m=0$ (12)
Bene ragazzi, combinando la (9) con la (12) dimostriamo ora ogni funzione del tipo $t^m*ln^n t$ con $n$ ed $m$ non negativi è integrabile nell’intorno dello zero. Se per esempio si sceglie come intervallo di integrazione $(0,1)$ si ha…
$int_0^1 t^m*ln^n t*dt= |t^(m+1)*sum_(i=0)^n (-1)^i/((m+1)^(i+1))*(n!)/((n-i)!)*ln^(n-i) t|_0^1$ (13)
… la quale, tenendo conto delle (12) diviene…
$int_0^1 t^m*ln^n t*dt = (-1)^n*(n!)/((m+1)^(n+1))$ (14)
Tutto questo è certamente interessante ma la domanda che potreste farmi è: perché hai tirato fuori questo discorso?… Beh, da un lato per farvi un poco divertire, dall’altro perché chissà che tra poco qualcuna di queste formule magari non serva… l’utile col dilettevole ragazzi!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
anche questa settimana siamo arrivati al venerdì e quindi distraiamoci un poco con qualche argomento ‘leggero’. Tempo fa in un post scritto da fireball mi ero ‘divertito’ a ricavare una formula di integrazione che non compare dei solito sui ‘tabulati’ [o almeno su quelli da me consultati in tanti anni…]. La formula in questione serviva al calcolo del seguente intregrale indefinito…
$int ln^n t*dt$ (1)
… con $n$ intero non negativo. La cosa non presenta a dire il vero difficoltà insormontabili. Basta eseguire una integrazione per parti e si trova…
$int ln^n t*dt= t*ln^n t-n*int ln^(n-1)t*dt$ (2)
… ovvero ci si riconduce ad un integrale simile all’originale con però l’esponente del logaritmo diminuito di una unità. Procedendo $n$ volte in questo modo si arriva diritto all’obiettivo…
$int ln^n t*dt= t*sum_(i=0)^n (-1)^i*(n!)/((n-i)!)*ln^(n-i) t + c$ (3)
… in cui $c$ è una ‘costante arbitraria’. Proviamo a dare qualche esempio…
$n=1 -> int ln t*dt= t*(ln t-1) +c$ (4)
$n=2 -> int ln^2 t*dt= t*(ln^2 t –2*ln t + 2)+c$ (5)
$n=3 -> int ln^3 t*dt= t*(ln^3 t-3*ln^2 t+6*ln t-6)+c$ (6)
… e cos’ via. Ora vediamo di trovare una espressione valida nel caso più generale del seguente integrale indefinito…
$int t^m*ln^n t*dt$ (7)
con $n$ e $m$ interi non negativi. Il procedimento è del tutto simile a quello già visto. Integriamo una volta per parti e otteniamo…
$int t^m*ln^n t*dt= t^(m+1)/(m+1)*ln^n t-n/(m+1)*int t^m*ln^(n-1)t*dt$ (8)
Come nella (2) anche in questo caso ci si riduce al calcolo di un integrale con l’esponente del logaritmo diminuito di una unità. Dopo $n$ iterazioni si arriva alla formula finale…
$int t^m*ln^n t*dt= t^(m+1)*sum_(i=0)^n (-1)^i/((m+1)^(i+1))*(n!)/((n-i)!)*ln^(n-i) t+c$ (9)
Interessante non è vero?… Lasciando a voi il divertimento di esplicitare l’espressione per vari valori di $n$ ed $m$, vediamo ancora alcune interessanti proprietà di funzioni del tipo $t^m*ln^n t$ con $n$ ed $m$ interi non negativi. Ad esempio quanto vale il limite seguente?…
$lim_(t->0) t^m*ln^n t$ (10)
Applicando una volta la regola dell’Hopital si ha…
$ lim_(t->0) t^m*ln^n t =lim_(t->0) (ln^n t)/(t^(-m))=$
$=lim_(t->0)- n/m*(ln^(n-1) t)/(t^(-m))$ (11)
Applicando $n$ volte la regola dell’Hopital si arriva alla espressione finale…
$lim_(t->0) t^m*ln^n t= lim_(t->0) (-1)^n (n!)/(m^n)*t^m=$
$=0$ per $m>0$, $=(-1)^n*oo$ per $m=0$ (12)
Bene ragazzi, combinando la (9) con la (12) dimostriamo ora ogni funzione del tipo $t^m*ln^n t$ con $n$ ed $m$ non negativi è integrabile nell’intorno dello zero. Se per esempio si sceglie come intervallo di integrazione $(0,1)$ si ha…
$int_0^1 t^m*ln^n t*dt= |t^(m+1)*sum_(i=0)^n (-1)^i/((m+1)^(i+1))*(n!)/((n-i)!)*ln^(n-i) t|_0^1$ (13)
… la quale, tenendo conto delle (12) diviene…
$int_0^1 t^m*ln^n t*dt = (-1)^n*(n!)/((m+1)^(n+1))$ (14)
Tutto questo è certamente interessante ma la domanda che potreste farmi è: perché hai tirato fuori questo discorso?… Beh, da un lato per farvi un poco divertire, dall’altro perché chissà che tra poco qualcuna di queste formule magari non serva… l’utile col dilettevole ragazzi!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
Grande! bel post! 
Ragazzi
oggi non è venerdì ma si da il caso che da domai sono in ferie e per un po’ non ci rivedremo. Prima però, giusto per ridere in poco, vi mostrerò una piccola ‘chicca’…
Riprendiamo un poco la formuletta cui eravamo giunti l’altra volta che qui ripropongo…
$int_0^1 t^m*ln^n t *dt= (-1)^n* (n!)/((m+1)^(n+1)$ (1)
Come è noto per $0
$1/(1-t)= 1+t+t^2+… = sum_(m=0)^(oo) t^m$ (2)
Ebbene combinando la (1) e la (2) proviamo a calcolare, ad esempio, l’integrale che segue…
$int_0^1 (ln t)/(1-t)*dt= sum_(m=0)^(oo) int_0^1 ln t*t^m*dt=$
$= -sum_(m=0)^(oo) 1/((m+1)^2)= - sum_(k=1)^(oo) 1/(k^2)= - (pi^2)/6$ (3)
Con un a certa sorpresa ritroviamo, con il segno cambiato, una delle ‘gemme’ del grande Eulero…
$sum_(k=1)^(oo) 1/(k^2)= (pi^2)/6$ (4)
Proviamo ora con $n=2$ e vediamo che cosa succede. Presto fatto…
$int_0^1 (ln^2 t)/(1-t)*dt= sum_(m=0)^(oo) int_0^1 ln^2 t*t^m*dt=$
$=2*sum_(m=0)^(oo)1/((m+1)^3)= 2*sum_(k=1)^(oo) 1/(k^3)$ (5)
Stavolta si è ottenuta, moltiplicata per $2$, la serie infinita degli inversi dei cubi degli interi. Però ragazzi!… Proviamo per n qualunque e vediamo che succede…
$int_0^1 (ln^n t)/(1-t)*dt = sum_(m=0)^(oo) int_0^1 ln^n t*t^m*dt=$
$=(-1)^n*n!*sum_(m=0)^(oo)1/((m+1)^(n+1))= (-1)^n*n!*sum_(k=1)^(+oo)1/(k^(n+1))$ (6)
A meno di un fattore $(-1)^n*n!$ si è ottenuta la serie infinita degli inversi delle potenze n+1-esime degli interi. Ehehehe!!!…
A suo tempo il grande matematico Riemann ha scovato una funzione [chiamata ancora oggi ‘Funzione zeta di Riemann’…] definita per $x$ variabile reale in questo modo…
$zeta(x)= 1/(1^x)+1/(2^x)+1/(3^x)+…$ (7)
Volendo quindi possiamo scrivere la (6) in maniera ‘elegante’ così…
$int_0^1 (ln^n t)/(1-t)*dt= (-1)^n*n!*zeta(n+1)$ (8)
Con ciò spero di essermi meritato le ferie ragazzi!!!…
cordiali saluti a tutti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
oggi non è venerdì ma si da il caso che da domai sono in ferie e per un po’ non ci rivedremo. Prima però, giusto per ridere in poco, vi mostrerò una piccola ‘chicca’…
Riprendiamo un poco la formuletta cui eravamo giunti l’altra volta che qui ripropongo…
$int_0^1 t^m*ln^n t *dt= (-1)^n* (n!)/((m+1)^(n+1)$ (1)
Come è noto per $0
$1/(1-t)= 1+t+t^2+… = sum_(m=0)^(oo) t^m$ (2)
Ebbene combinando la (1) e la (2) proviamo a calcolare, ad esempio, l’integrale che segue…
$int_0^1 (ln t)/(1-t)*dt= sum_(m=0)^(oo) int_0^1 ln t*t^m*dt=$
$= -sum_(m=0)^(oo) 1/((m+1)^2)= - sum_(k=1)^(oo) 1/(k^2)= - (pi^2)/6$ (3)
Con un a certa sorpresa ritroviamo, con il segno cambiato, una delle ‘gemme’ del grande Eulero…
$sum_(k=1)^(oo) 1/(k^2)= (pi^2)/6$ (4)
Proviamo ora con $n=2$ e vediamo che cosa succede. Presto fatto…
$int_0^1 (ln^2 t)/(1-t)*dt= sum_(m=0)^(oo) int_0^1 ln^2 t*t^m*dt=$
$=2*sum_(m=0)^(oo)1/((m+1)^3)= 2*sum_(k=1)^(oo) 1/(k^3)$ (5)
Stavolta si è ottenuta, moltiplicata per $2$, la serie infinita degli inversi dei cubi degli interi. Però ragazzi!… Proviamo per n qualunque e vediamo che succede…
$int_0^1 (ln^n t)/(1-t)*dt = sum_(m=0)^(oo) int_0^1 ln^n t*t^m*dt=$
$=(-1)^n*n!*sum_(m=0)^(oo)1/((m+1)^(n+1))= (-1)^n*n!*sum_(k=1)^(+oo)1/(k^(n+1))$ (6)
A meno di un fattore $(-1)^n*n!$ si è ottenuta la serie infinita degli inversi delle potenze n+1-esime degli interi. Ehehehe!!!…
A suo tempo il grande matematico Riemann ha scovato una funzione [chiamata ancora oggi ‘Funzione zeta di Riemann’…] definita per $x$ variabile reale in questo modo…
$zeta(x)= 1/(1^x)+1/(2^x)+1/(3^x)+…$ (7)
Volendo quindi possiamo scrivere la (6) in maniera ‘elegante’ così…
$int_0^1 (ln^n t)/(1-t)*dt= (-1)^n*n!*zeta(n+1)$ (8)
Con ciò spero di essermi meritato le ferie ragazzi!!!…
cordiali saluti a tutti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ragazzi
il fine settimana si sta avvicinando e allora ho proprio voglia di suggerirvi un bell’argomento di discussione per il vostro convito fiorentino. Supponiamo di voler calcolare il seguente integrale…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt$ (1)
... e, pur sapendo che esiste, di avere qualche difficoltà nell’approccio ‘standard’. In tal caso verrebbe assai comoda una strada alternativa e in queste righe mi permetto [scusate la presunzione…] di suggerirne una. Partiamo dall’unica definizione appropriata [e nonostante ciò mai ricordata da nessuno…] di ‘funzione esponenziale’ che è la seguente…
$e^t=lim_(k-> +oo) (1+t/k)^k$ (2)
Da essa si ricava l’ovvia formula per l’esponenziale con esponente negativo…
$e^(-t)=lim_(k->+oo) 1/((1+t/k)^k)$ (3)
Sulla base di questa definizione sorge spontanea l’idea di scrivere…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) int_0^k f(t)/((1+t/k)^k)*dt$ (4)
Operando ora la sostituzione di variabili $u=t/k$ si ottiene…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k* int_0^1 f(ku)/((1+u)^k)*du$ (5)
Certo si tratta di un integrale assai 'attraente’, soprattutto perchè su un intervallo non solo finito, ma anche ‘comodo’. Una cosa però è decantare la bellezza della formula, altra cosa è che essa ‘funzioni’…
Proviamo a fare qualche tentativo, cominciando ovviamente dal caso più semplice di tutti. Ponendo $f(t)=1$ occorre verificare che è…
$int_0^(+oo) e^(-t)*dt=1$ (6)
La (5) diviene in questo caso…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k* int_0^1 1/((1+u)^k)*du=$
$=lim_(k->+oo) –k/(k-1)*|1/(1+u)^(k-1)|_0^1=
$=lim_(k->+oo)-k/(k-1)*(1/(2^(k-1))-1)=1$ (7)
Per ora ragazzi è ok!... Vediamo ora un caso un poco complicato e poniamo $f(t)=t^n$ e proviamo a vedere se salta fuori il noto risultato…
$int_0^(+oo) t^n*e^(-t)*dt=n!$ (8)
La (5) diviene ora…
$lim_(k->+oo) k*int_0^1 (ku)^n/((1+u)^k)*du=$
$=lim_(k->+oo) k^(n+1) |-1/(k-1)*u^n/((1+u)^(k-1))-n/((k-1)(k-2))*u^(n-1)/((1+u)^(k-2))-...$
$...- (n!)/((k-1)*(k-2)*...*(k-n-1))*1/((1+u)^(k-n-1))|_0^1=$
$=lim_(k->+oo) (k^(n+1)*n!)/((k-1)*(k-2)*...*(k-n-1))=n!$ (9)
Verrebbe quasi voglia di dire… tombola ragazzi!… Dal momento che però il lupo che vi scrive è ‘grigio’ il fiuto gli suggerisce che non tutto è oro quello che luccica e qualche altra ‘meditazione’ può essere necessaria. C’è qualcuno di voi che ha qualcosa da suggerire?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
il fine settimana si sta avvicinando e allora ho proprio voglia di suggerirvi un bell’argomento di discussione per il vostro convito fiorentino. Supponiamo di voler calcolare il seguente integrale…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt$ (1)
... e, pur sapendo che esiste, di avere qualche difficoltà nell’approccio ‘standard’. In tal caso verrebbe assai comoda una strada alternativa e in queste righe mi permetto [scusate la presunzione…] di suggerirne una. Partiamo dall’unica definizione appropriata [e nonostante ciò mai ricordata da nessuno…] di ‘funzione esponenziale’ che è la seguente…
$e^t=lim_(k-> +oo) (1+t/k)^k$ (2)
Da essa si ricava l’ovvia formula per l’esponenziale con esponente negativo…
$e^(-t)=lim_(k->+oo) 1/((1+t/k)^k)$ (3)
Sulla base di questa definizione sorge spontanea l’idea di scrivere…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) int_0^k f(t)/((1+t/k)^k)*dt$ (4)
Operando ora la sostituzione di variabili $u=t/k$ si ottiene…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k* int_0^1 f(ku)/((1+u)^k)*du$ (5)
Certo si tratta di un integrale assai 'attraente’, soprattutto perchè su un intervallo non solo finito, ma anche ‘comodo’. Una cosa però è decantare la bellezza della formula, altra cosa è che essa ‘funzioni’…
Proviamo a fare qualche tentativo, cominciando ovviamente dal caso più semplice di tutti. Ponendo $f(t)=1$ occorre verificare che è…
$int_0^(+oo) e^(-t)*dt=1$ (6)
La (5) diviene in questo caso…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k* int_0^1 1/((1+u)^k)*du=$
$=lim_(k->+oo) –k/(k-1)*|1/(1+u)^(k-1)|_0^1=
$=lim_(k->+oo)-k/(k-1)*(1/(2^(k-1))-1)=1$ (7)
Per ora ragazzi è ok!... Vediamo ora un caso un poco complicato e poniamo $f(t)=t^n$ e proviamo a vedere se salta fuori il noto risultato…
$int_0^(+oo) t^n*e^(-t)*dt=n!$ (8)
La (5) diviene ora…
$lim_(k->+oo) k*int_0^1 (ku)^n/((1+u)^k)*du=$
$=lim_(k->+oo) k^(n+1) |-1/(k-1)*u^n/((1+u)^(k-1))-n/((k-1)(k-2))*u^(n-1)/((1+u)^(k-2))-...$
$...- (n!)/((k-1)*(k-2)*...*(k-n-1))*1/((1+u)^(k-n-1))|_0^1=$
$=lim_(k->+oo) (k^(n+1)*n!)/((k-1)*(k-2)*...*(k-n-1))=n!$ (9)
Verrebbe quasi voglia di dire… tombola ragazzi!… Dal momento che però il lupo che vi scrive è ‘grigio’ il fiuto gli suggerisce che non tutto è oro quello che luccica e qualche altra ‘meditazione’ può essere necessaria. C’è qualcuno di voi che ha qualcosa da suggerire?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Ebbene combinando la (1) e la (2) proviamo a calcolare, ad esempio, l’integrale che segue…
$int_0^1 (ln t)/(1-t)*dt= sum_(m=0)^(oo) int_0^1 ln t*t^m*dt=$
$= -sum_(m=0)^(oo) 1/((m+1)^2)= - sum_(k=1)^(oo) 1/(k^2)= - (pi^2)/6$ (3)
Con un a certa sorpresa ritroviamo, con il segno cambiato, una delle ‘gemme’ del grande Eulero…
$sum_(k=1)^(oo) 1/(k^2)= (pi^2)/6$ (4)
Dove hai dimostrato che $int_0^1 (ln t)/(1-t)=(pi^2)/6$? Così non ritrovi una gemma di Eulero, semmai la usi.
Comunque questo tipo di inversione serie e integrale è molto elegante
Ringrazio Carlo23 per l’intervento e gli immeritati complimenti… e già che sono qui mi permetto di segnalare a tutti [ma a lui in particolare…] che in un problema da me posto riguardo alla ‘equazione del cucù’ [ https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=10691 …] nessuno ha ancora voluto cimentarsi… certo se Carlo23 [o una delle altre ‘grandi menti’…] volesse intervenire lì non nascondo che la cosa mi farebbe grande piacere…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ragazzi
anche questa settimana è arrivato il venerdì e come ogni venerdì ci diamo qui appuntamento per aggiornare il nostro dizionario di ‘formule dimenticate [o sconosciute]’…
A dir la verità la prima cosa che mi tocca fare è una ‘rettifica’, o se si vuole un ‘miglioramento’ di quanto scritto in un precedente post. Partendo dalla sola definizione ‘esatta’ di funzione esponenziale…
$e^t= lim_(k->+oo) (1+t/k)^k$ (1)
... siamo arrivati alla seguente ‘formula’ …
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k*int_0^1 f(ku)/((1+u)^k)* du$ (2)
Intendiamoci bene, la formula non è che sia [almeno fino a nuovo ordine…] ‘sbagliata’, il fatto è che il termine $(1+u)^k$ al denominatore è un poco ‘scomodo’…
Per rimediare a ciò [scusate se ci sono arrivato con un poco di ritardo…] si può partire utilizzando la (1) anche per valori negativi della variabile $t$ …
$e^(-t)= lim_(k->+oo) (1-t/k)^k$ (3)
... arrivando così alla formula 'migliorata’…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k*int_0^1 f(ku)*(1-u)^k* du$ (4)
Se essa è 'valida’ come la prima non ci pronunciamo in maniera definitiva. Come abbiamo fatto con la precedente, proviamo a verificarla da prima con $f(t)=1$…
$int_0^(+oo) e^(-t)*dt= lim_( k->+oo) k*int_0^1 (1-u)^k*du=$
$=lim_(k->+oo) k/(k+1) |-(1-u)^(k+1)|_0^1= lim_(k->+oo) k/(k+1)=1$ (5)
Il risultato è ok!… e per arrivarci abbiamo faticato assai meno che non usando l’altra formula…
Proviamo ora con $f(t)=t^n$…
$int_0^(+oo) =lim_(k->+oo) k*int_0^1(ku)^n*(1-u)^k*du=lim_(k->+oo) k^(n+1)*int_0^1 u^n*(1-u)^k*du$ (6)
Applicando sistematicamente la regola di integrazione per parti si ottiene…
$int u^n*(1-u)^k*du = - 1/(k+1) u^n*(1-u)^(k+1) – n/((k+1)*(k+2)) * u^(n-1)*(1-u)^(k+2)-…$
$…- (n!)/((k+1)*(k+2)*...*(k+n+1)) *(1-u)^(k+n+1) + c$ (7)
... per cui è…
$int_0^1 u^n*(1-u)^k*du= (n!)/((k+1)*(k+2)*…*(k+n+1))$ (8)
Utilizzando la (8) si arriva alla fine al risultato tanto auspicato…
$int_0^(+oo) t^n*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) (k^(n+1)*n!)/((k+1)*(k+2)*...*(k+n+1))=n!$ (9)
Bene ragazzi!... Sembra che la formula 'nuova’ non è peggio della 'vecchia’ e costa qualche fatica in meno!… Come applicarla però è ancora un piccolo segreto che fra un po’ vi svelerò!… 
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
A proposito ragazzi, un modo 'elegante' di scrivere la (8) è il seguente...
$int_0^1 u^n*(1-u)^k*du= (n!)/((k+1)*(k+2)*...(k+n+1))= 1/(((k+n+1),(n)))$ (10)
Un'altra simpatica formuletta!...
anche questa settimana è arrivato il venerdì e come ogni venerdì ci diamo qui appuntamento per aggiornare il nostro dizionario di ‘formule dimenticate [o sconosciute]’…
A dir la verità la prima cosa che mi tocca fare è una ‘rettifica’, o se si vuole un ‘miglioramento’ di quanto scritto in un precedente post. Partendo dalla sola definizione ‘esatta’ di funzione esponenziale…
$e^t= lim_(k->+oo) (1+t/k)^k$ (1)
... siamo arrivati alla seguente ‘formula’ …
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k*int_0^1 f(ku)/((1+u)^k)* du$ (2)
Intendiamoci bene, la formula non è che sia [almeno fino a nuovo ordine…] ‘sbagliata’, il fatto è che il termine $(1+u)^k$ al denominatore è un poco ‘scomodo’…
Per rimediare a ciò [scusate se ci sono arrivato con un poco di ritardo…] si può partire utilizzando la (1) anche per valori negativi della variabile $t$ …
$e^(-t)= lim_(k->+oo) (1-t/k)^k$ (3)
... arrivando così alla formula 'migliorata’…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k*int_0^1 f(ku)*(1-u)^k* du$ (4)
Se essa è 'valida’ come la prima non ci pronunciamo in maniera definitiva. Come abbiamo fatto con la precedente, proviamo a verificarla da prima con $f(t)=1$…
$int_0^(+oo) e^(-t)*dt= lim_( k->+oo) k*int_0^1 (1-u)^k*du=$
$=lim_(k->+oo) k/(k+1) |-(1-u)^(k+1)|_0^1= lim_(k->+oo) k/(k+1)=1$ (5)
Il risultato è ok!… e per arrivarci abbiamo faticato assai meno che non usando l’altra formula…
Proviamo ora con $f(t)=t^n$…
$int_0^(+oo) =lim_(k->+oo) k*int_0^1(ku)^n*(1-u)^k*du=lim_(k->+oo) k^(n+1)*int_0^1 u^n*(1-u)^k*du$ (6)
Applicando sistematicamente la regola di integrazione per parti si ottiene…
$int u^n*(1-u)^k*du = - 1/(k+1) u^n*(1-u)^(k+1) – n/((k+1)*(k+2)) * u^(n-1)*(1-u)^(k+2)-…$
$…- (n!)/((k+1)*(k+2)*...*(k+n+1)) *(1-u)^(k+n+1) + c$ (7)
... per cui è…
$int_0^1 u^n*(1-u)^k*du= (n!)/((k+1)*(k+2)*…*(k+n+1))$ (8)
Utilizzando la (8) si arriva alla fine al risultato tanto auspicato…
$int_0^(+oo) t^n*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) (k^(n+1)*n!)/((k+1)*(k+2)*...*(k+n+1))=n!$ (9)
Bene ragazzi!... Sembra che la formula 'nuova’ non è peggio della 'vecchia’ e costa qualche fatica in meno!… Come applicarla però è ancora un piccolo segreto che fra un po’ vi svelerò!…
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
A proposito ragazzi, un modo 'elegante' di scrivere la (8) è il seguente...
$int_0^1 u^n*(1-u)^k*du= (n!)/((k+1)*(k+2)*...(k+n+1))= 1/(((k+n+1),(n)))$ (10)
Un'altra simpatica formuletta!...
Ragazzi
ogni tanto ci rifacciamo un poco vivi per ‘aggiornare’ il nostro ‘catalogo’ delle ‘formule dimenticate’. Oggi parliamo ancora della ‘formula magica’…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k* int_0^1 f(ku)*(1-u)^k*du$ (1)
… e la riscriviamo semplicemente in un’altra maniera. La semplice sostituzione $1-u=v$ porta infatti a scrivere la (1) come…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt=lim_(k->+oo) k*int_0^1 f[k(1-v)]*v^k*dv$ (2)
Naturalmente la formula deve tornare nel caso $f(t)=t^n$ ed infatti non è difficile dimostrare che è…
$int_0^1 u^n*(1-u)^k*du= int_0^1 u^k*(1-u)^n*du= (n!)/((k+1)(k+2)…(k+n+1))$ (3)
... ossia che i ruoli di $n$ e $k$ possono essere scambiati tra loro. Interessante!…
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
ogni tanto ci rifacciamo un poco vivi per ‘aggiornare’ il nostro ‘catalogo’ delle ‘formule dimenticate’. Oggi parliamo ancora della ‘formula magica’…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k* int_0^1 f(ku)*(1-u)^k*du$ (1)
… e la riscriviamo semplicemente in un’altra maniera. La semplice sostituzione $1-u=v$ porta infatti a scrivere la (1) come…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt=lim_(k->+oo) k*int_0^1 f[k(1-v)]*v^k*dv$ (2)
Naturalmente la formula deve tornare nel caso $f(t)=t^n$ ed infatti non è difficile dimostrare che è…
$int_0^1 u^n*(1-u)^k*du= int_0^1 u^k*(1-u)^n*du= (n!)/((k+1)(k+2)…(k+n+1))$ (3)
... ossia che i ruoli di $n$ e $k$ possono essere scambiati tra loro. Interessante!…
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
Se lo dici tu...
La Matematica non si vede in queste formule, ma in ben altro. Più che interessanti, sono solo osservazioni carine preciserei.
La Matematica non si vede in queste formule, ma in ben altro. Più che interessanti, sono solo osservazioni carine preciserei.
Ragazzi
lasciando senza rimpianti la ‘Matematica’ alla cure dei cosiddetti ‘addetti ai lavori’, mi limiterò a sperimentare l’ultima ‘formula carina’ trovata, in attesa di poterla utilizzare per la soluzione di integrali un poco ‘spinosi’, su di un integrale noto. La formula è la seguente…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k*int_0^1 f[k(1-u)]*u^k*du$ (1)
… e intendiamo applicarla al caso $f(t)=ln t$. Non resta che sostituire nella (1) e vedere che cosa salta fuori…
$int_0^(+oo) ln t*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k*ln k*int_0^1 u^k*du + lim_(k->+oo) k*int_0^1 ln(1-u)*u^k*du=$
$=lim_(k->+oo) k/(k+1)*ln k-lim_(k->+oo) k*sum_(n=1)^(+oo) 1/n*int_0^1 u^(k+n)*du=$
$=lim_(k->+oo) ln k –lim_(k->+oo) k*sum_(n=1)^(+oo) 1/(n*(k+n))$ (2)
A questo punto basta ricordare la identità…
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(n*(k+n))= 1/k*sum_(n=1)^k 1/n$ (3)
… per arrivare a scrivere…
$int_0^(+oo) ln t*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) (ln k- sum_(n=1)^k 1/n)= - gamma$ (4)
…essendo…
$gamma= lim_(k->+oo) (1+1/2+…+1/k-ln k)= .57721566490153…$
… la ‘costante di Eulero’. Si tratta ovviamente di un risultato noto e il ‘calcolo’ voleva essere un ‘collaudo’ della formula e nulla più…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
lasciando senza rimpianti la ‘Matematica’ alla cure dei cosiddetti ‘addetti ai lavori’, mi limiterò a sperimentare l’ultima ‘formula carina’ trovata, in attesa di poterla utilizzare per la soluzione di integrali un poco ‘spinosi’, su di un integrale noto. La formula è la seguente…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k*int_0^1 f[k(1-u)]*u^k*du$ (1)
… e intendiamo applicarla al caso $f(t)=ln t$. Non resta che sostituire nella (1) e vedere che cosa salta fuori…
$int_0^(+oo) ln t*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) k*ln k*int_0^1 u^k*du + lim_(k->+oo) k*int_0^1 ln(1-u)*u^k*du=$
$=lim_(k->+oo) k/(k+1)*ln k-lim_(k->+oo) k*sum_(n=1)^(+oo) 1/n*int_0^1 u^(k+n)*du=$
$=lim_(k->+oo) ln k –lim_(k->+oo) k*sum_(n=1)^(+oo) 1/(n*(k+n))$ (2)
A questo punto basta ricordare la identità…
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(n*(k+n))= 1/k*sum_(n=1)^k 1/n$ (3)
… per arrivare a scrivere…
$int_0^(+oo) ln t*e^(-t)*dt= lim_(k->+oo) (ln k- sum_(n=1)^k 1/n)= - gamma$ (4)
…essendo…
$gamma= lim_(k->+oo) (1+1/2+…+1/k-ln k)= .57721566490153…$
… la ‘costante di Eulero’. Si tratta ovviamente di un risultato noto e il ‘calcolo’ voleva essere un ‘collaudo’ della formula e nulla più…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Posso dire una cosa agghiacciante?
Ma non è più efficace dedicarsi a dimostrare un risultato di esistenza, o di convergenza dell'integrale, e poi risolverlo in maniera numerica, senza invischiarsi in una matassa di lemmi proposizioni formule e formulette?
Ma non è più efficace dedicarsi a dimostrare un risultato di esistenza, o di convergenza dell'integrale, e poi risolverlo in maniera numerica, senza invischiarsi in una matassa di lemmi proposizioni formule e formulette?
A domanda ‘agghiacciante’ risposta ‘agghiacciante’…
L’ultimo integrale esaminato…
$int_0^(+oo) ln t*e^(-t)*dt$ (1)
… è due volte ‘improprio’ in quanto è su un intervallo infinito e la funzione integrando ha una singolarità in $t=0$. Valori ‘approssimati’ di integrale di questo tipo possono in linea di principio essere trovati con l’applicazione delle formule di Gauss-Laguerre…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt* quasi =sum_(k=1)^n f(t_k)*a_k$ (2)
... in cui le $t_k$ sono gli zeri del polinomio di Laguerre di grado $n$. Applicando la formula (2) al caso $f(t)=ln t$ per vari valori di $n$ si trovano i risultati seguenti…
$n=4 -> int=-.423307$
$n=6 -> int=-.473753$
$n=8 -> int=-.499291$
$n=10 -> int=-.514718$
$n=12 -> int=-.525046$
$n=14 -> int=-.532446$
$n=16 -> int=-.538005$
$n=18 -> int=-.542337$
$n=20 -> int=-.545807$
Per $n>20$ l’algoritmo da me implementato per trovare gli zeri del polinomio di Laguerre fallisce [sui ‘manuali’ sono tabulati le $t_k$ e le $a_k$ fino ad $n=14$ e non oltre…] e pertanto dobbiamo fermarci. Essendo il risultato ‘esatto’ pari a…
$-gamma=-.57721566490153… (3)
… i migliori valori ottenuti hanno una sola cifra corretta...
Non credo vi sia da aggiungere altro…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
L’ultimo integrale esaminato…
$int_0^(+oo) ln t*e^(-t)*dt$ (1)
… è due volte ‘improprio’ in quanto è su un intervallo infinito e la funzione integrando ha una singolarità in $t=0$. Valori ‘approssimati’ di integrale di questo tipo possono in linea di principio essere trovati con l’applicazione delle formule di Gauss-Laguerre…
$int_0^(+oo) f(t)*e^(-t)*dt* quasi =sum_(k=1)^n f(t_k)*a_k$ (2)
... in cui le $t_k$ sono gli zeri del polinomio di Laguerre di grado $n$. Applicando la formula (2) al caso $f(t)=ln t$ per vari valori di $n$ si trovano i risultati seguenti…
$n=4 -> int=-.423307$
$n=6 -> int=-.473753$
$n=8 -> int=-.499291$
$n=10 -> int=-.514718$
$n=12 -> int=-.525046$
$n=14 -> int=-.532446$
$n=16 -> int=-.538005$
$n=18 -> int=-.542337$
$n=20 -> int=-.545807$
Per $n>20$ l’algoritmo da me implementato per trovare gli zeri del polinomio di Laguerre fallisce [sui ‘manuali’ sono tabulati le $t_k$ e le $a_k$ fino ad $n=14$ e non oltre…] e pertanto dobbiamo fermarci. Essendo il risultato ‘esatto’ pari a…
$-gamma=-.57721566490153… (3)
… i migliori valori ottenuti hanno una sola cifra corretta...
Non credo vi sia da aggiungere altro… cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ci sono metodi che non richiedono alcuna iterazione, nè di calcolare gli zeri di alcun polinomio, ad esempio il metodo di simpson, o i metodi montecarlo.
Temo di non essere stato ben compreso e mi scuso se non sono stato sufficientemente chiaro. L'integrale in questione...
$int_0^(+oo) ln t*e^-t*dt$ (1)
... è su un intervallo infinito ed inoltre la funzione $ln t$ ha una singolarità in $t=0$. E' appena il caso di rilevare che nè il metodo di Simpson nè il metodo Montecarlo possono essere applicati in un caso del genere...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$int_0^(+oo) ln t*e^-t*dt$ (1)
... è su un intervallo infinito ed inoltre la funzione $ln t$ ha una singolarità in $t=0$. E' appena il caso di rilevare che nè il metodo di Simpson nè il metodo Montecarlo possono essere applicati in un caso del genere...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
L'integranda tende a valori sempre più piccoli al tendere di t all'infinito, usando excel e un banalissimo metodo ai trapezi, integrando tra 0.000000000000001 e 25 si trova un valore di -0.576 Quindi 2 cifre corrette, direi che c'è spazio per migliorare, basta solo avere la sufficiente potenza di calcolo.
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