Altre caratterizzazioni della continuità
Avrei un problema a dimostrare l'equivalenza fra varie forme equivalenti di continuità. Avrei delle dimostrazioni, ma non sono sicuro che siano corrette. L' enunciato è:
Dati 2 spazi topologici X e Y,per una funzione $f:X\rightarrowY$ sono equivalenti:
-$f$ è continua
-per ogni $x_0 \in X$ e ogni intorno $U$ di $f(x_0)$ l'insieme $f^{-1} (U)$ è intorno di $x_0$
-per ogni aperto A di Y l'insieme $f^{-1} (A)$ è aperto in X
-per ogni chiuso in Y la sua controimmagine tramite $f$ è chiusa in X
Ora, personalmente credo di poterlo dimostrare, ma non sono sicuro della correttezza della dimostrazione, di cui qui do una breve idea.
Diciamo che il secondo punto è quasi banale, il problema sono il terzo e il quarto. Io al terzo punto considererei un intorno di un punto $f(x_0)$ che fa parte dell' immagine di $f$ e direi che visto che la controimmagine è aperta e contiene $x_0$ mi posso ricondurre alla definizione "classica" di continuità (una funzione è continua in $x_0$ se per ogni intorno di $f(x_0)$ esiste un intorno di $x_0$ ecc..) . Per il quarto punto invece non sono molto convinto, chiederei qualche suggerimento...
Inoltre non so se la dimostrazione di quest' altro fatto è giusta:
L'immagine di un connesso tramite una $f$ continua è connessa.
Per dimostrarla, farei per assurdo, cioè se l'immagine non fosse connessa allora sarebbe unione di 2 sottoinsiemi chiusi, non vuoti e disgiunti. A questo punto se chiamo $f(a)$ l'estremo di uno dei due insiemi, ne prendo un intorno K e per ipotesi, visto che $f$ è continua, esiste un intorno I di $a$ tale che $f(I)\subset K$, ma scegliendo opportunamente $f(a)$ posso arrivare a un assurdo.
E' giusta l'idea? O mi sono perso qualche passaggio logico importante?
Dati 2 spazi topologici X e Y,per una funzione $f:X\rightarrowY$ sono equivalenti:
-$f$ è continua
-per ogni $x_0 \in X$ e ogni intorno $U$ di $f(x_0)$ l'insieme $f^{-1} (U)$ è intorno di $x_0$
-per ogni aperto A di Y l'insieme $f^{-1} (A)$ è aperto in X
-per ogni chiuso in Y la sua controimmagine tramite $f$ è chiusa in X
Ora, personalmente credo di poterlo dimostrare, ma non sono sicuro della correttezza della dimostrazione, di cui qui do una breve idea.
Diciamo che il secondo punto è quasi banale, il problema sono il terzo e il quarto. Io al terzo punto considererei un intorno di un punto $f(x_0)$ che fa parte dell' immagine di $f$ e direi che visto che la controimmagine è aperta e contiene $x_0$ mi posso ricondurre alla definizione "classica" di continuità (una funzione è continua in $x_0$ se per ogni intorno di $f(x_0)$ esiste un intorno di $x_0$ ecc..) . Per il quarto punto invece non sono molto convinto, chiederei qualche suggerimento...
Inoltre non so se la dimostrazione di quest' altro fatto è giusta:
L'immagine di un connesso tramite una $f$ continua è connessa.
Per dimostrarla, farei per assurdo, cioè se l'immagine non fosse connessa allora sarebbe unione di 2 sottoinsiemi chiusi, non vuoti e disgiunti. A questo punto se chiamo $f(a)$ l'estremo di uno dei due insiemi, ne prendo un intorno K e per ipotesi, visto che $f$ è continua, esiste un intorno I di $a$ tale che $f(I)\subset K$, ma scegliendo opportunamente $f(a)$ posso arrivare a un assurdo.
E' giusta l'idea? O mi sono perso qualche passaggio logico importante?
Risposte
Il primo consiglio che ti do è di leggerti il libro del Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, che oltre ad essere un libro di una chiarezza spaventosa tratta nel dettaglio tutti e 5 i tuoi problemi.
In ogni caso la due la tre e la 4 sono dimostrazioni "a catena" nel senso che per dimostrare la 3 alla fine usi sostanzialmente quello che hai detto tu unito alla 2, ti servirà notare quali insiemi contengono quali altri insiemi, ma è abbastanza semplice...
Il quarto è addirittura più banale del due... infatti il complementare di un chiuso è un aperto, ma per gli aperti hai già dimostrato la 3 , da cui notando due banali inclusioni e le proprietà dei complementari dimostri il corollario.
l'idea circa è corretta, tu vuoi dimostrare che gli insiemi immagine sono separati, per farlo dovrai utilizzare il quarto teorema sulle controimmagini dei chiusi è quello il passaggio logico che ti manca, perché altrimenti ti trovi costretto a dare una struttura alla tua funzione per trovare il tuo elemento separatore $f(a)$ che a priori non sapresti come scegliere, a meno di non ricadere in qualche tautologia...
In ogni caso la due la tre e la 4 sono dimostrazioni "a catena" nel senso che per dimostrare la 3 alla fine usi sostanzialmente quello che hai detto tu unito alla 2, ti servirà notare quali insiemi contengono quali altri insiemi, ma è abbastanza semplice...
Il quarto è addirittura più banale del due... infatti il complementare di un chiuso è un aperto, ma per gli aperti hai già dimostrato la 3 , da cui notando due banali inclusioni e le proprietà dei complementari dimostri il corollario.
l'idea circa è corretta, tu vuoi dimostrare che gli insiemi immagine sono separati, per farlo dovrai utilizzare il quarto teorema sulle controimmagini dei chiusi è quello il passaggio logico che ti manca, perché altrimenti ti trovi costretto a dare una struttura alla tua funzione per trovare il tuo elemento separatore $f(a)$ che a priori non sapresti come scegliere, a meno di non ricadere in qualche tautologia...
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