Altra funzione con maclaurin
ieri avevo postato una funzione che dovevo scrivere sotto forma di polinomio grazie a maclaurin. Anche oggi ho una funzione che mi riserva qualche dubbio sul procedimento:
in pratica dovrei scrivere sotto forma di maclaurin la funzione `ln(1+sin(4x))`
sapendo scrivere `ln(1+x)` e `sin(4x)` però non mi viene in mente come procedere se non provando a sviluppare le varie derivate. Difatti provando a scrivere `sin(4x)=t` non cambierebbe nulla, perchè mi ritroverei il seno nella serie di maclaurin! Ho provato a scrivere le varie derivate ma mi sembrano troppo onerose e credo ci sia un ragionamento di fondo che facilita la vita. Suggerimenti?
in pratica dovrei scrivere sotto forma di maclaurin la funzione `ln(1+sin(4x))`
sapendo scrivere `ln(1+x)` e `sin(4x)` però non mi viene in mente come procedere se non provando a sviluppare le varie derivate. Difatti provando a scrivere `sin(4x)=t` non cambierebbe nulla, perchè mi ritroverei il seno nella serie di maclaurin! Ho provato a scrivere le varie derivate ma mi sembrano troppo onerose e credo ci sia un ragionamento di fondo che facilita la vita. Suggerimenti?
Risposte
Dipende fino a che ordine intendi sviluppare...
Cmq il tuo ragionamento è corretto...
Facciamo conto di fermarci al primo ordine:
Ponendo $t=\sin(4x)$ si ha che:
$\log(1+t)=t+o(t)=>\log(1+sin(4x)=\sin(4x)+o(|sin(4x)|)$
A questo punto sviluppi il seno fino al primo ordine:
$s=4x$
$sin(s)=s+o(s)=>sin(4x)=4x+o(x)$
Alla fine:
$\log(1+sin(4x))=4x+o(x)$
Cmq il tuo ragionamento è corretto...
Facciamo conto di fermarci al primo ordine:
Ponendo $t=\sin(4x)$ si ha che:
$\log(1+t)=t+o(t)=>\log(1+sin(4x)=\sin(4x)+o(|sin(4x)|)$
A questo punto sviluppi il seno fino al primo ordine:
$s=4x$
$sin(s)=s+o(s)=>sin(4x)=4x+o(x)$
Alla fine:
$\log(1+sin(4x))=4x+o(x)$
quindi se ho capito una sostituzione in una sostituzione? 
continuando con questo procedimento, poi (almeno speriamoci) dovrei riuscire a capire come si comporta la serie?
continuando con questo procedimento, poi (almeno speriamoci) dovrei riuscire a capire come si comporta la serie?
Immagino che tu spezzi la serie ad un determinato ordine...
La cosa più rognosa è infatti fare lo sviluppo delle funzioni composte con Taylor...
Facciamo un esempio:
$f(x)=log(1+sinx)$. Sviluppiamo fino al terzo ordine:
$f(x)=sinx-{sin^2x}/2+{sin^3x}/3+o(x^3)$
Adesso:
$log(1+sinx)=x-x^3/6-{(x-x^3/6)^2}/2+{(x-x^3/6)^3}/3+o(x^3)$
Trascurando quindi tutti i termini di grado strettamente maggiore di tre:
$log(1+sinx)=x-x^3/6-{x^2}/2+x^3/3+o(x^3)=x-x^2/2+x^3/6+o(x^3)$
La cosa più rognosa è infatti fare lo sviluppo delle funzioni composte con Taylor...
Facciamo un esempio:
$f(x)=log(1+sinx)$. Sviluppiamo fino al terzo ordine:
$f(x)=sinx-{sin^2x}/2+{sin^3x}/3+o(x^3)$
Adesso:
$log(1+sinx)=x-x^3/6-{(x-x^3/6)^2}/2+{(x-x^3/6)^3}/3+o(x^3)$
Trascurando quindi tutti i termini di grado strettamente maggiore di tre:
$log(1+sinx)=x-x^3/6-{x^2}/2+x^3/3+o(x^3)=x-x^2/2+x^3/6+o(x^3)$
perfetto, ti ringrazio! 
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