Altra domanda equazioni complesse
Ciao ragazzi avrei un altra domanda su un equazione complessa da porvi.
L'equazione è $z^4+3*coniug(z^2)=0$ (non so come fare il coniugato)
La risoluzione è semplice, ho portata tutto in forma esponenziale e ho trovato $p=0$ e $p=sqrt(3)$ e $theta=pi/6+(kpi)/3$
Non mi torna il fatto che il libro trova 7 soluzioni... da dove dovrei capire che sono 7?
Grazie
L'equazione è $z^4+3*coniug(z^2)=0$ (non so come fare il coniugato)
La risoluzione è semplice, ho portata tutto in forma esponenziale e ho trovato $p=0$ e $p=sqrt(3)$ e $theta=pi/6+(kpi)/3$
Non mi torna il fatto che il libro trova 7 soluzioni... da dove dovrei capire che sono 7?
Grazie
Risposte
Nelle tue soluzioni compare un parametro $k$ di cui non è specificato il campo di variabilità (naturali, interi, reali, intervallo di naturali, ecc.).
Come mai hai inserito quel parametro? In quale punto della risoluzione ne hai sentito la necessità?
Indagando su questo punto dovresti riuscire a capire come mai le soluzioni sono proprio $7$.
Certo, guardando il testo dell'equazione cosí com'è scritta non si riesce a capire che le soluzioni sono $7$ poiché essendoci l'operazione di coniugato non è applicabile il teorema fondamentale dell'algebra (in poche parole l'equazione non è puramente algebrica).
Come mai hai inserito quel parametro? In quale punto della risoluzione ne hai sentito la necessità?
Indagando su questo punto dovresti riuscire a capire come mai le soluzioni sono proprio $7$.
Certo, guardando il testo dell'equazione cosí com'è scritta non si riesce a capire che le soluzioni sono $7$ poiché essendoci l'operazione di coniugato non è applicabile il teorema fondamentale dell'algebra (in poche parole l'equazione non è puramente algebrica).
"beppe86":
La risoluzione è semplice, ho portata tutto in forma esponenziale e ho trovato $p=0$ e $p=sqrt(3)$ e $theta=pi/6+(kpi)/3$
Non mi torna il fatto che il libro trova 7 soluzioni... da dove dovrei capire che sono 7?
Quelle che hai scritto tu sono 7 (se ho capito bene):
una è la soluzione $z=0$ (quella che tu hai indicato con p=0).
Le altre sei sono quelle che hanno modulo $p=\sqrt{3}$ e argomenti $theta=pi/6+(kpi)/3$ con k che varia tra 0 e 5.
$k$ l'ho inserito quando vado a ricavare $theta$.
$4theta=pi-2theta+2kpi$ e $k$ appartiene a $Z$... ovviamente il $2kpi$ è necessario per la totale veridicità dell'equazione (senza perderemmo delle soluzioni).
Però non capisco ancora da dove vengono 7 soluzioni, ho provato anche a metterle giù graficamente ma non mi torna.
EDIT Ho letto ora il tuo post Martino, che le soluzioni dipendono dal parametro $k=0,1,...,5$ lo so, mi chiedevo però da dove posso capire che le soluzioni devono essere proprio 7.
$4theta=pi-2theta+2kpi$ e $k$ appartiene a $Z$... ovviamente il $2kpi$ è necessario per la totale veridicità dell'equazione (senza perderemmo delle soluzioni).
Però non capisco ancora da dove vengono 7 soluzioni, ho provato anche a metterle giù graficamente ma non mi torna.
EDIT Ho letto ora il tuo post Martino, che le soluzioni dipendono dal parametro $k=0,1,...,5$ lo so, mi chiedevo però da dove posso capire che le soluzioni devono essere proprio 7.
"beppe86":
EDIT Ho letto ora il tuo post Martino, che le soluzioni dipendono dal parametro $k=0,1,...,5$ lo so, mi chiedevo però da dove posso capire che le soluzioni devono essere proprio 7.
Allora sono io a non aver capito
Non sempre è possibile determinare il numero di soluzioni di un'equazione solamente guardandola. È questo che intendevi?
Cio' che non capisco è la tua affermazione
Non mi torna il fatto che il libro trova 7 soluzioni...
Ma se ne hai trovate sette come fa a non tornarti il fatto che il libro ne trovi sette?
Ehm no, io non ne ho trovate 7 ... mi sono fermato all'aver trovato i due $p$ e $theta$ in funzione di $k$.
Poi pensando a quante soluzioni avrebbe potuto avere questa equazione non sono riuscito a trovare una risposta... e a quel punto ho visto che il libro ne riportava 7
.
... mi sono fermato all'aver trovato i due $p$ e $theta$ in funzione di $k$.Poi pensando a quante soluzioni avrebbe potuto avere questa equazione non sono riuscito a trovare una risposta... e a quel punto ho visto che il libro ne riportava 7
.
Quello che trovi quando fai i conti è questo:
la soluzione nulla, quella da te indicata con $p=0$ (e fa uno);
le altre soluzioni hanno tutte modulo uguale a $p=sqrt3$, e l'argomento $theta$ vale
$\pi/6+k\pi/3$ con k=0,1,2,3,4,5. Ovvero hai le soluzioni:
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6$ (e fa due)
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6+\pi/3$ (e fa tre)
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6+2\pi/3$ (e fa quattro)
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6+\pi$ (e fa cinque)
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6+4\pi/3$ (e fa sei)
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6+5\pi/3$ (e fa sette)
No?
la soluzione nulla, quella da te indicata con $p=0$ (e fa uno);
le altre soluzioni hanno tutte modulo uguale a $p=sqrt3$, e l'argomento $theta$ vale
$\pi/6+k\pi/3$ con k=0,1,2,3,4,5. Ovvero hai le soluzioni:
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6$ (e fa due)
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6+\pi/3$ (e fa tre)
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6+2\pi/3$ (e fa quattro)
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6+\pi$ (e fa cinque)
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6+4\pi/3$ (e fa sei)
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6+5\pi/3$ (e fa sette)
No?
Si, esatto... però forse non mi spiego bene 
... come mai mi fermo alla settima? E non proseguo con k=6 ad esempio?
In definita la domanda è la solita, come faccio a dire che le soluzioni sono proprio 7? e non 6 o 8?
Come ha detto cozza taddeo nel caso di una equazione puramente algebrica basta applicare il teorema fondamentale ma in questo caso?
... come mai mi fermo alla settima? E non proseguo con k=6 ad esempio? In definita la domanda è la solita, come faccio a dire che le soluzioni sono proprio 7? e non 6 o 8?
Come ha detto cozza taddeo nel caso di una equazione puramente algebrica basta applicare il teorema fondamentale ma in questo caso?
"beppe86":
Si, esatto... però forse non mi spiego bene
AAh!
Ora la questione mi è chiara
Il motivo è semplicissimo: se tu metti k=6 trovi come argomento $theta = \pi/6+6 \pi/3 = \pi/6+2\pi$, e il numero complesso che ha
$p=sqrt3,\ theta = \pi/6+2\pi$
coincide col numero complesso che ha
$p=sqrt3,\ theta=\pi/6$
Ma tu questa soluzione già l'avevi!
La soluzione con k=6 è esattamente la soluzione con k=0.
La soluzione con k=7 è esattamente la soluzione con k=1.
La soluzione con k=8 è esattamente la soluzione con k=2.
Ecc...
Edito: in parole povere, l'argomento di un numero complesso tu lo trovi a meno di aggiungere multipli interi di $2\pi$.
Spero di essere chiaro,
ciao ciao.
Ok, allora l'avevo intuito... mi chiedevo se c'era qualche "malizia" per evitare di andare a "tentativi", anche se non si parla di tentativi veri e propri.
Non mi pare che tu abbia trovato le soluzioni procedendo a tentativi...
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