Allineamento decimale.
Vorrei sapere se la mia comprensione della seguente dimostrazione e' corretta. Si vuole dimostrare che in base decimale un numero non puo' avere periodo '' $9$ ''.
Sia per assurdo '' $r=c_0,bar 9$ ''. Siccome il resto, durante una divisione e' sempre compreso tra '' $0$ '' e il divisore ( altrimenti otterremo un valore superiore o uguale all'unita' ), avremo:
$c_0+9/10+...+9/(10^n)<=r
A causa della supposizione assurda abbiamo che '' $r$ '' puo' essere maggiore di '' $c_0+9/10+...+9/(10^n)$ '' perche' avrebbe infiniti '' $9$ '' dopo la virgola, e con '' $n$ '' non necessariamente si intende una tendenza all'infinito. Nel caso limite '' $ntoinfty$ '' otteniamo l'uguaglianza.
Sottraendo '' $c_0$ '':
$9/10+...+9/(10^n)<=r-c_0<1$. Ovvero:
$1-1/(10^n)
Pero' l'idea di limite nel testo viene introdotta ben dopo...pertanto non mi sembra una tecnica al momento valida.
Avevo pensato a questo: '' $1-1/(10^n)$ '' rende un valore minore di '' $1$ '', e in base ad '' $n$ '' ( qualsiasi esso sia ) viene sottratta una quantita' definita. Pertanto la possibilita' di uguaglianza nell'equazione precedente '' $c_0+9/10+...+9/(10^n)<=r$ '' non e' soddisfatta ( facendo rimanere soltanto la possibilita' di minoranza ), quindi c'e' una contraddizione ( prima '' $r$ '' poteva eguagliarlo, ora non piu' ). Quindi non c'e' differenza tra '' $r,bar 9$ '' e '' $r+1$ ''; '' $0,bar 9$ '' non puo' essere rappresentato. Pero' mi rimane il dubbio, e qualche suggerimento sarebbe gradito.
Sia per assurdo '' $r=c_0,bar 9$ ''. Siccome il resto, durante una divisione e' sempre compreso tra '' $0$ '' e il divisore ( altrimenti otterremo un valore superiore o uguale all'unita' ), avremo:
$c_0+9/10+...+9/(10^n)<=r
A causa della supposizione assurda abbiamo che '' $r$ '' puo' essere maggiore di '' $c_0+9/10+...+9/(10^n)$ '' perche' avrebbe infiniti '' $9$ '' dopo la virgola, e con '' $n$ '' non necessariamente si intende una tendenza all'infinito. Nel caso limite '' $ntoinfty$ '' otteniamo l'uguaglianza.
Sottraendo '' $c_0$ '':
$9/10+...+9/(10^n)<=r-c_0<1$. Ovvero:
$1-1/(10^n)
Pero' l'idea di limite nel testo viene introdotta ben dopo...pertanto non mi sembra una tecnica al momento valida.
Avevo pensato a questo: '' $1-1/(10^n)$ '' rende un valore minore di '' $1$ '', e in base ad '' $n$ '' ( qualsiasi esso sia ) viene sottratta una quantita' definita. Pertanto la possibilita' di uguaglianza nell'equazione precedente '' $c_0+9/10+...+9/(10^n)<=r$ '' non e' soddisfatta ( facendo rimanere soltanto la possibilita' di minoranza ), quindi c'e' una contraddizione ( prima '' $r$ '' poteva eguagliarlo, ora non piu' ). Quindi non c'e' differenza tra '' $r,bar 9$ '' e '' $r+1$ ''; '' $0,bar 9$ '' non puo' essere rappresentato. Pero' mi rimane il dubbio, e qualche suggerimento sarebbe gradito.
Risposte
Ma non è più facile usare la serie geometrica? Se $r=M+0,\bar{9}
$r=M+\sum_{n=1}^\infty 9/{10^n}=M+9\sum_{n=1}^\infty 1/{10^n}=M+9\cdot 1/{10}\cdot {10}/9=M+1$
assurdo.
$r=M+\sum_{n=1}^\infty 9/{10^n}=M+9\sum_{n=1}^\infty 1/{10^n}=M+9\cdot 1/{10}\cdot {10}/9=M+1$
assurdo.
Ciao! Ti ringrazio! 
Quindi la sommatoria e' una serie convergente e mi va bene. Pero' volevo capire il ragionamento del mio libro, in quanto l'allineamento decimale si trova subito, prima di definire limiti, serie e altro... . Quindi, mi chiedevo come, senza questi ausili, si potesse dimostrare...per questo rifiutando ( almeno per ora ) la probabile nozione di limite usata dal libro per venirne fuori ( applicata in '' $1-1/(10^n)$ '', per '' $ntoinfty$ '' ), ho cercato di cavarmela con quel ragionamento. Secondo te puo' andare bene?
Certo, capisco che sia un limite intuitivo, pero' ad essere rigorosi ( riferendomi al testo ) non sono stati ancora definiti i limiti. Quindi
come farebbe, altrimenti, ad affermare che '' $1-1/(10^n)
Quindi la sommatoria e' una serie convergente e mi va bene. Pero' volevo capire il ragionamento del mio libro, in quanto l'allineamento decimale si trova subito, prima di definire limiti, serie e altro... . Quindi, mi chiedevo come, senza questi ausili, si potesse dimostrare...per questo rifiutando ( almeno per ora ) la probabile nozione di limite usata dal libro per venirne fuori ( applicata in '' $1-1/(10^n)$ '', per '' $ntoinfty$ '' ), ho cercato di cavarmela con quel ragionamento. Secondo te puo' andare bene?
Certo, capisco che sia un limite intuitivo, pero' ad essere rigorosi ( riferendomi al testo ) non sono stati ancora definiti i limiti. Quindi
come farebbe, altrimenti, ad affermare che '' $1-1/(10^n)
L'assurdo discende dal fatto che, se definisci \(a := c_0+1-r\), dovresti avere che
\[
0 < a < \frac{1}{10^n} \qquad \forall n\in\mathbb{N}.
\]
\[
0 < a < \frac{1}{10^n} \qquad \forall n\in\mathbb{N}.
\]
@Gas.
Se vuoi adottare unicamente concetti noti allo stato attuale,
com'è in effetti opportuno quanto lecito per non ricadere nella circolarità definitoria che vuoi giustamente evitare,
forse ti basta acquisire,propedeuticamente alla verifica in oggetto,il seguente lemma:
Se $x,y in RR$ sono t.c. $|x-y|allora $x=y$
(la verifica di questo fatto del tutto intuitivo,che traduce formalmente come sia $0$ l'unico numero reale non negativo minore di qualsiasi quantità positiva ,
s'effettua per assurdo ponendo,ammesso e non concesso che $x ne y$,$epsilon=|x-y|$..)!
Ed $1/(10^n)$ può esser reso in effetti minore d'un qualunque numero reale $epsilon$ arbitrariamente piccolo ma positivo:
basta fissare $n$ maggiore della parte intera di $-"Log"epsilon$
(e questo mi sà che sei abbondantemente in grado di dimostrarlo,allo stato attuale delle tue conoscenze
)..
Saluti dal web.
P.S.Rinnovo il mio piccolo e personale omaggio al Prof. Chiarenza,
che per la prima volta avevo effettuato la scorsa Estate davanti ad un argomento simile
(tra l'altro lo trovo per te azzeccato,
perchè rileggendoti ho notato che quest'ottica della cosa è dentro te che spinge forte per uscire
):
mi cotruisci un numero reale tra $1,4999...$ e $1,5$ ?
Se vuoi adottare unicamente concetti noti allo stato attuale,
com'è in effetti opportuno quanto lecito per non ricadere nella circolarità definitoria che vuoi giustamente evitare,
forse ti basta acquisire,propedeuticamente alla verifica in oggetto,il seguente lemma:
Se $x,y in RR$ sono t.c. $|x-y|
(la verifica di questo fatto del tutto intuitivo,che traduce formalmente come sia $0$ l'unico numero reale non negativo minore di qualsiasi quantità positiva ,
s'effettua per assurdo ponendo,ammesso e non concesso che $x ne y$,$epsilon=|x-y|$..)!
Ed $1/(10^n)$ può esser reso in effetti minore d'un qualunque numero reale $epsilon$ arbitrariamente piccolo ma positivo:
basta fissare $n$ maggiore della parte intera di $-"Log"epsilon$
(e questo mi sà che sei abbondantemente in grado di dimostrarlo,allo stato attuale delle tue conoscenze
)..Saluti dal web.
P.S.Rinnovo il mio piccolo e personale omaggio al Prof. Chiarenza,
che per la prima volta avevo effettuato la scorsa Estate davanti ad un argomento simile
(tra l'altro lo trovo per te azzeccato,
perchè rileggendoti ho notato che quest'ottica della cosa è dentro te che spinge forte per uscire
):mi cotruisci un numero reale tra $1,4999...$ e $1,5$
?
@Theras: in realtà si tratta di una questione di definizione.
La dimostrazione di Gas viene tipicamente fatta con \(r\) numero razionale, per far vedere che ad ogni numero razionale puoi associare un allineamento decimale periodico (eventualmente di periodo nullo), con l'esclusione dell'allineamento che presenta \(\overline{9}\); tipicamente tutto questo avviene prima di avere costruito il campo dei numeri reali.
Dunque, se \(r\) è razionale, anche \(a=c_0+1-r\) lo è, e non ci sono problemi ad arrivare all'assurdo nella disuguaglianza scritta.
Per dimostrare invece che, se \(a\in\mathbb{R}\), la disuguaglianza \(0\leq a<\epsilon\) per ogni \(\epsilon > 0\) implica \(a=0\), devi intanto avere già costruito il campo dei numeri reali; a quel punto la sua validità può essere dedotta dalla proprietà archimedea.
La dimostrazione di Gas viene tipicamente fatta con \(r\) numero razionale, per far vedere che ad ogni numero razionale puoi associare un allineamento decimale periodico (eventualmente di periodo nullo), con l'esclusione dell'allineamento che presenta \(\overline{9}\); tipicamente tutto questo avviene prima di avere costruito il campo dei numeri reali.
Dunque, se \(r\) è razionale, anche \(a=c_0+1-r\) lo è, e non ci sono problemi ad arrivare all'assurdo nella disuguaglianza scritta.
Per dimostrare invece che, se \(a\in\mathbb{R}\), la disuguaglianza \(0\leq a<\epsilon\) per ogni \(\epsilon > 0\) implica \(a=0\), devi intanto avere già costruito il campo dei numeri reali; a quel punto la sua validità può essere dedotta dalla proprietà archimedea.
Vi ringrazio! 
$1-1/(10^n)
Pero', in ogni caso, non si puo' fare a meno dell'idea di limite, e penso che le sue fondamenta siano indipendenti da quanto dovrebbe rientrare nella costruzione di '' $QQ$ '' e di '' $RR$ ''. Se e' cosi', allora mi va bene.
Cerchero' di essere il piu' chiaro possibile ( e scusate la lunghezza del post che ne derivera' ) relativamente al passaggio della dimostrazione in cui si arriva alla disuguaglianza stretta ( si', perche' in un passaggio precedente era ammessa anche la possibile uguaglianza ), riproponendo il ragionamento di un mio post precedente.
Per assurdo '' $r=c_0,bar 9$ ''.
$c_0+9/10+...+9/(10^n)<=r
- Minore di '' $r$ '', in quanto avendo ammesso '' $9$ '' per ogni ordine di grandezza di '' $r$ '' ( insomma, i decimali ) ce ne sono infiniti, pertanto se nel termine di sinistra '' $n$ '' e' finito ( per quanto grande ), allora non ci saranno infiniti ordini di grandezza contenenti '' $9$ '', pertanto il termine risultera' minore di '' $r$ ''. Ad esempio se '' $n=1200$ '' avremo '' $1200$ '' '' $9$ '' dopo la virgola nel termine a sinistra.
- Uguale a '' $r$ '', in quanto se '' $ntoinfty$ '' ci saranno infiniti '' $9$ '', quindi si eguaglieranno.
Pero' in un passaggio della dimostrazione quest'ultima possibilita' viene a mancare. Procediamo.
Tuttavia: $9/10+...+9/(10^n)+1/(10^n)=1$. Tenendo conto di questo e sottraendo '' $c_0$ '' abbiamo:
$1-1/(10^n)
Penso che il testo si sia basato su quanto segue: siano '' $x,yinQQ$ '', con '' $x!=y!=0$ '' e sia '' $x+(-y)=h$ ''.
Allora '' $h!=0$ ''. Anche se '' $hto0$ '', infatti quantitativamente c'e' tendenza all'uguaglianza, ma qualitativamente c'e' un abisso.
Ritorniamo a '' $1-1/(10^n)$ ''. Allora qualsiasi quantita' verra' tolta da '' $1$ '' avremo un valore minore di '' $1$ ''. In base a '' $n$ '' ( per quanto grande ) verra' sottratto fino a un certo ordine di grandezza, allora non ci saranno infiniti '' $9$ '' dopo la virgola, quindi sara' ottenuto un valore minore del nostro '' $r-c_0$ ''.
Abbiamo raggiunto un assurdo: prima '' $r-c_0$ '' poteva essere uguale a '' $0,bar 9$ '', ora non piu': allora non puo' piu' essere rappresentato in quel modo.
Volendo, arrivati fin qui, si puo' passare anche al discorso sul limite, gia' prima affrontato.
Una possibile critica alla mia soluzione sarebbe questa: come fai a sapere a priori che '' $1/(10^n)=0,bar (0)1$ '' ( permettetemi di scrivere questo aborto ) non puo' essere rappresentato ( dato che sottraggo da '' $1$ '' )?
Provo a rispondere che '' $n$ '', per quanto grande, nel venire sottratto incidera' su un ordine di grandezza ( posto decimale )
in ogni caso. '' $0,bar (0)1$ '' non puo' essere un posto di ordine di grandezza, in quanto richiederebbe che dopo infiniti '' $9$ '' alla fine ( consentitemi il paradosso a livello linguistico ) ci sara' un '' $1$ '' come ultimo valore. Penso che l'assurdo ( se non voglio usare il limite ) sia proprio questo.
Tutto questo per giustificare l'omissione della possibilta' di uguaglianza. Perdonatemi per la mole del messaggio.
Questo e' quanto.
$1-1/(10^n)
Pero', in ogni caso, non si puo' fare a meno dell'idea di limite, e penso che le sue fondamenta siano indipendenti da quanto dovrebbe rientrare nella costruzione di '' $QQ$ '' e di '' $RR$ ''. Se e' cosi', allora mi va bene.
Cerchero' di essere il piu' chiaro possibile ( e scusate la lunghezza del post che ne derivera' ) relativamente al passaggio della dimostrazione in cui si arriva alla disuguaglianza stretta ( si', perche' in un passaggio precedente era ammessa anche la possibile uguaglianza ), riproponendo il ragionamento di un mio post precedente.
Per assurdo '' $r=c_0,bar 9$ ''.
$c_0+9/10+...+9/(10^n)<=r
- Minore di '' $r$ '', in quanto avendo ammesso '' $9$ '' per ogni ordine di grandezza di '' $r$ '' ( insomma, i decimali ) ce ne sono infiniti, pertanto se nel termine di sinistra '' $n$ '' e' finito ( per quanto grande ), allora non ci saranno infiniti ordini di grandezza contenenti '' $9$ '', pertanto il termine risultera' minore di '' $r$ ''. Ad esempio se '' $n=1200$ '' avremo '' $1200$ '' '' $9$ '' dopo la virgola nel termine a sinistra.
- Uguale a '' $r$ '', in quanto se '' $ntoinfty$ '' ci saranno infiniti '' $9$ '', quindi si eguaglieranno.
Pero' in un passaggio della dimostrazione quest'ultima possibilita' viene a mancare. Procediamo.
Tuttavia: $9/10+...+9/(10^n)+1/(10^n)=1$. Tenendo conto di questo e sottraendo '' $c_0$ '' abbiamo:
$1-1/(10^n)
Penso che il testo si sia basato su quanto segue: siano '' $x,yinQQ$ '', con '' $x!=y!=0$ '' e sia '' $x+(-y)=h$ ''.
Allora '' $h!=0$ ''. Anche se '' $hto0$ '', infatti quantitativamente c'e' tendenza all'uguaglianza, ma qualitativamente c'e' un abisso.
Ritorniamo a '' $1-1/(10^n)$ ''. Allora qualsiasi quantita' verra' tolta da '' $1$ '' avremo un valore minore di '' $1$ ''. In base a '' $n$ '' ( per quanto grande ) verra' sottratto fino a un certo ordine di grandezza, allora non ci saranno infiniti '' $9$ '' dopo la virgola, quindi sara' ottenuto un valore minore del nostro '' $r-c_0$ ''.
Abbiamo raggiunto un assurdo: prima '' $r-c_0$ '' poteva essere uguale a '' $0,bar 9$ '', ora non piu': allora non puo' piu' essere rappresentato in quel modo.
Volendo, arrivati fin qui, si puo' passare anche al discorso sul limite, gia' prima affrontato.
Una possibile critica alla mia soluzione sarebbe questa: come fai a sapere a priori che '' $1/(10^n)=0,bar (0)1$ '' ( permettetemi di scrivere questo aborto ) non puo' essere rappresentato ( dato che sottraggo da '' $1$ '' )?
Provo a rispondere che '' $n$ '', per quanto grande, nel venire sottratto incidera' su un ordine di grandezza ( posto decimale )
in ogni caso. '' $0,bar (0)1$ '' non puo' essere un posto di ordine di grandezza, in quanto richiederebbe che dopo infiniti '' $9$ '' alla fine ( consentitemi il paradosso a livello linguistico ) ci sara' un '' $1$ '' come ultimo valore. Penso che l'assurdo ( se non voglio usare il limite ) sia proprio questo.
Tutto questo per giustificare l'omissione della possibilta' di uguaglianza. Perdonatemi per la mole del messaggio.
Questo e' quanto.
@Rigel.
Mi fà molto piacere un tuo intervento così articolato su quest'argomento;
in primis perché provare a confrontarsi con la tua visuale è spessissimo occasione di crescita e/o completamento,
e poi perché se ho ben capito sei un bravo ricercatore che tiene parecchio alla Didattica:
colgo allora l'occasione per chiederti se ritieni che la questione fondazionale degli insiemi numerici sia ben affrontata nelle Facoltà universitarie italiane ad indirizzo scientifico..
Mi spiego meglio:
a Fisica e Matematica,ed in misura un pò minore pure ad Ingegneria,si segue un processo standard d'allargamento,
partendo dall'introduzione assiomatica secondo Peano di $NN$ ed arrivando a definire $QQ$ come insieme quoziente di $ZZtimesZZ$ rispetto ad una particolare relazione d'equivalenza su esso,
passando da una costruzione, abbastanza analoga
(tanto per costruzione quanto per il fatto che pure essa non è altro che la formalizzazione di un'idea,alquanto intuitiva,
cui generalmente lo studente è implicitamente "abituato" dall'Infanzia..),
per introdurre $ZZ$ come insieme delle classi d'equivalenza individuati da una particolare relazione su $NNtimesNN$.
E fin quì tutto bene e tutto "facile",tanto che di solito un buon Docente se la cava esaustivamente in meno di mezza lezione su questi argomenti che,
comunemente,hanno l'approccio introduttivo che ho appena riassunto;
solo che poi,a mio avviso,
ci si perde in termini di chiarezza quando si passa a $RR$,
forse perché ogni insegnante ha i suoi gusti
(ma pure i suoi tempi stretti da dover gestire,ahivoi..)
nello scegliere tra l'elegante costrutto definitorio di Dedekind
(che poi le varianti,tra sezioni reali e razionali di $RR$,son due,
e non sempre si fà vedere l'equivalenza tra esse nel modo che sarebbe dovuto..)
e quello,più "pratico" ma pieno d'insidie teoriche,dei reali come allineamenti,non per forza periodici,di cifre decimali:
una delle "vittime" di ciò è proprio la proprietà Archimedea,
a volte conseguenza ed altre assioma..
Ha senso quanto dico,per te?
Saluti dal web.
Mi fà molto piacere un tuo intervento così articolato su quest'argomento;
in primis perché provare a confrontarsi con la tua visuale è spessissimo occasione di crescita e/o completamento,
e poi perché se ho ben capito sei un bravo ricercatore che tiene parecchio alla Didattica:
colgo allora l'occasione per chiederti se ritieni che la questione fondazionale degli insiemi numerici sia ben affrontata nelle Facoltà universitarie italiane ad indirizzo scientifico..
Mi spiego meglio:
a Fisica e Matematica,ed in misura un pò minore pure ad Ingegneria,si segue un processo standard d'allargamento,
partendo dall'introduzione assiomatica secondo Peano di $NN$ ed arrivando a definire $QQ$ come insieme quoziente di $ZZtimesZZ$ rispetto ad una particolare relazione d'equivalenza su esso,
passando da una costruzione, abbastanza analoga
(tanto per costruzione quanto per il fatto che pure essa non è altro che la formalizzazione di un'idea,alquanto intuitiva,
cui generalmente lo studente è implicitamente "abituato" dall'Infanzia..),
per introdurre $ZZ$ come insieme delle classi d'equivalenza individuati da una particolare relazione su $NNtimesNN$.
E fin quì tutto bene e tutto "facile",tanto che di solito un buon Docente se la cava esaustivamente in meno di mezza lezione su questi argomenti che,
comunemente,hanno l'approccio introduttivo che ho appena riassunto;
solo che poi,a mio avviso,
ci si perde in termini di chiarezza quando si passa a $RR$,
forse perché ogni insegnante ha i suoi gusti
(ma pure i suoi tempi stretti da dover gestire,ahivoi..)
nello scegliere tra l'elegante costrutto definitorio di Dedekind
(che poi le varianti,tra sezioni reali e razionali di $RR$,son due,
e non sempre si fà vedere l'equivalenza tra esse nel modo che sarebbe dovuto..)
e quello,più "pratico" ma pieno d'insidie teoriche,dei reali come allineamenti,non per forza periodici,di cifre decimali:
una delle "vittime" di ciò è proprio la proprietà Archimedea,
a volte conseguenza ed altre assioma..
Ha senso quanto dico,per te?
Saluti dal web.
L'approccio basato sulle sezioni di Dedekind ha il vantaggio di essere in qualche modo intrinseco, a differenza della costruzione basata sugli allineamenti decimali che invece è basata sulla scelta (arbitraria) di una base.
Il vantaggio del secondo approccio discende dal fatto che, soprattutto per studenti del primo anno, è più vicino all'intuizione e a ciò che loro sanno. In ogni caso, anche la costruzione basata sugli allineamenti decimali può essere fatta in maniera rigorosa (come, ad esempio, viene fatto nei testi di Pagani-Salsa e Soardi).
Certo, se la costruzione del campo dei numeri reali si limita al fatto di dire che un numero reale è un allineamento decimale infinito, è difficile capire ad esempio la proprietà di completezza.
Il vantaggio del secondo approccio discende dal fatto che, soprattutto per studenti del primo anno, è più vicino all'intuizione e a ciò che loro sanno. In ogni caso, anche la costruzione basata sugli allineamenti decimali può essere fatta in maniera rigorosa (come, ad esempio, viene fatto nei testi di Pagani-Salsa e Soardi).
Certo, se la costruzione del campo dei numeri reali si limita al fatto di dire che un numero reale è un allineamento decimale infinito, è difficile capire ad esempio la proprietà di completezza.
Vi ringrazio tutti!
Rigel, il mio testo e' proprio '' Soardi: Analisi Matematica ''.
Finora abbiamo discusso sulla base '' $10$ '', ma ovviamente si puo' estendere il discorso alla base '' $n$ ''.
E' vero che ci si poteva basare su una soluzione intuitiva ( per gli allineamenti decimali, purtroppo Dedekind non rientra nei miei studi; anche se e' vero che potrei avventurarmi in questo piu' avanti ), pero' cercando di essere rigoroso ho preso una strada che mi ha portato alla soluzione che ho proposto.
Rigel, il mio testo e' proprio '' Soardi: Analisi Matematica ''.
Finora abbiamo discusso sulla base '' $10$ '', ma ovviamente si puo' estendere il discorso alla base '' $n$ ''.
E' vero che ci si poteva basare su una soluzione intuitiva ( per gli allineamenti decimali, purtroppo Dedekind non rientra nei miei studi; anche se e' vero che potrei avventurarmi in questo piu' avanti ), pero' cercando di essere rigoroso ho preso una strada che mi ha portato alla soluzione che ho proposto.
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