Alla ricerca della f

dennysmathprof
Buongiorno a tutti

Per la continua funzione [tex]f:\left[ {0,1} \right] \to R[/tex],abbiamo
[tex]f\left( x \right) = \int\limits_0^x {f\left( {{t^a}} \right)dt,} \forall x \in \left[ {0,1} \right],a\in R, a>o[/tex],
Dimostrare che [tex]. f\left( x \right) = 0,\forall x \in \left[ {0,1} \right][/tex]

Risposte
stormy1
per ipotesi $f'(x)=f(x^a)$
questa uguaglianza vale anche per $a=1$ e quindi $f'(x)=f(x)$
quest'ultima uguaglianza è verificata o da $f(x)=0$ o da $f(x)=ce^x;c ne 0$
ma ovviamente solo $f(x)=0$ verifica la prima uguaglianza scritta

dennysmathprof
Carissimo buongiorno

Grazie della risposta .Non sono daccordo perche [tex]a\in R[/tex] puo essere 2,3 etc

dionisio

Quinzio
"dennysmathprof":
Carissimo buongiorno

Grazie della risposta .Non sono daccordo perche [tex]a\in R[/tex] puo essere 2,3 etc

dionisio

Buongiorno Dionisio,
Sto guardando la risposta che hai dato a stormy e volevo capire meglio il senso.
Se chiamo $f_1(x):=f(x), a=1$ ad esempio, e definisco $S_1$ l'insieme delle funzioni che soddisfano il problema per $f_1(x),a=1$, $S_2$ l'insieme delle funzioni per $f_2(x), a=2$, ecc, allora se $S$ è l'insieme delle funzioni che soddisfano il problema per $a\in RR$, la mia congettura (e quella di stormy) è che $S= S_1 \nn S_2 \nn S_3 \nn ... = \nnn_(a\in RR)S_a$.

Quindi stormy ha concluso che $S_1={f(x)=0}$ e quindi $S \sube {f(x)=0}$ e allora $S={\emptyset} $ oppure $ S={F(x)=0}$

E' corretto in linea di principio quello che ho scritto ?

stormy1
"dennysmathprof":
Carissimo buongiorno

Grazie della risposta .Non sono daccordo perche \( a\in R \) puo essere 2,3 etc

dionisio

un saluto a dionisio e quinzio :)
io il problema l'ho interpretato come quinzio,cioè ho capito per ogni $x$ e per ogni $a$
se poi si intendeva per ogni $x$ e con una $a$ fissata,allora la tesi non è vera
come già detto nel primo post,per $a=1$ ,l'equazione è verificata da tutte la funzioni del tipo $y=ce^x$

dennysmathprof
Quinzio e Stormy buona giornata e grazie delle soluzioni.
Adesso sono d'accordo con le soluzioni e quello che avevo anche io.
Si come ci sono anche studenti che seguono il sito ,volevo una soluzione piu
completa che come al solito Quinzio ,era perfetto.

tanti saluti e piano-piano buone vacanze

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