Algoritmo risoluzione Serie di Potenze
Una serie di potenze ha la forma:
$ sum_(n = 0)^(oo)a_n(x-x_0) $
dove:
$a_n$sono i coefficenti della serie
$x_0$ è il centro della serie
$R$ è il raggio di convergenza
Per determinare il raggio di convergenza.
Faccio il limite di $(|a_n|)^(1/n)$ per n che tende a infinito.
se $l!=0,oo$ $R= 1/l$
se $l=0$ $R=oo$
se $l=oo$ $R=0$
E' giusto?
$ sum_(n = 0)^(oo)a_n(x-x_0) $
dove:
$a_n$sono i coefficenti della serie
$x_0$ è il centro della serie
$R$ è il raggio di convergenza
Per determinare il raggio di convergenza.
Faccio il limite di $(|a_n|)^(1/n)$ per n che tende a infinito.
se $l!=0,oo$ $R= 1/l$
se $l=0$ $R=oo$
se $l=oo$ $R=0$
E' giusto?
Risposte
A me sembra che sia :
$R=lim_(n->+oo)|\frac{a_n}{a_(n+1)}|$
$R=lim_(n->+oo)|\frac{a_n}{a_(n+1)}|$
è un metodo alternativo al metodo della radice
"BHK":
se $l!=0,oo$ $R=+oo$
se $l=0$ $R=oo$
se $l=oo$ $R=0$
E' giusto?
No, il primo è sbagliato. Se $lim_(n to +oo) root(n)|a_n|=L$, allora il raggio di convergenza $R=1/L$.
Gli altri due casi sono giusti.
corretto, se dovessi trovare l’insieme E di tutti gli x tali che la serie converga, come potrei fare?
Dapprima determini il raggio di convergenza (nel modo di cui abbiamo parlato, o con il criterio del rapporto).
Poi studi a mano la convergenza negli estremi (se ciò è necessario: è ovvio che se il raggio è 0 o $oo$ non c'è bisogno di studiare la convergenza "agli estremi"
).
Ok?
Poi studi a mano la convergenza negli estremi (se ciò è necessario: è ovvio che se il raggio è 0 o $oo$ non c'è bisogno di studiare la convergenza "agli estremi"
).Ok?
Ad esempio la serie
$ sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n(x+1/6) $
$lim_(n->oo)|(5^n+(-6)^n)/n|^(1/n)$
mi da una forma indeterminata al denominatore $oo^0$
metodi per aggirarla?
$ sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n(x+1/6) $
$lim_(n->oo)|(5^n+(-6)^n)/n|^(1/n)$
mi da una forma indeterminata al denominatore $oo^0$
metodi per aggirarla?
Al denominatore, $lim_(n to +oo) n^(1/n) = lim_(n to +oo) e^(logn/n)=... $
Ti trovi $r=1/6$?
Ti trovi $r=1/6$?
allora $lim_(n->oo) n^(1/n)=1$
quindo ho $lim_(n->oo) (|5^n+(-6)^n|^(1/n))/1$
come semplifico il numeratore?
quindo ho $lim_(n->oo) (|5^n+(-6)^n|^(1/n))/1$
come semplifico il numeratore?
allora dovrebbe valere la formula generale $lim_(n->oo) |alpha^n+beta^n|^(1/n)$
$l=alpha$ se $alpha>beta$ altrimenti $l=beta$ se $beta>alpha$
immagiono derivi da un teorema i da un'applicazione di un teorema, giusto?
$l=alpha$ se $alpha>beta$ altrimenti $l=beta$ se $beta>alpha$
immagiono derivi da un teorema i da un'applicazione di un teorema, giusto?
Dunque, non avevo mai visto quella formula, ma penso proprio sia corretta. L'idea comunque è che puoi spezzare la serie nella somma di due serie di potenze, calcolarne i rispettivi raggi di convergenza e poi prenderne il minimo.
Per cui, $ sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n(x+1/6)^n = sum_(n=0)^(oo)(5^n)/n(x+1/6)^n + sum_(n=0)^(oo)((-6)^n)/n(x+1/6)^n$.
Adesso, con i soliti strumenti puoi calcolarti i due raggi di convergenza che risultano ovviamente $r_1=1/5$ e $r_2=1/6$ e concludere in definitiva che $r=min{r_1,r_2}=1/6$.
Ok?
Per cui, $ sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n(x+1/6)^n = sum_(n=0)^(oo)(5^n)/n(x+1/6)^n + sum_(n=0)^(oo)((-6)^n)/n(x+1/6)^n$.
Adesso, con i soliti strumenti puoi calcolarti i due raggi di convergenza che risultano ovviamente $r_1=1/5$ e $r_2=1/6$ e concludere in definitiva che $r=min{r_1,r_2}=1/6$.
Ok?
ok quindi il raggio è $R=1/6$ con centro in $1/6$
ora devo verificare se gli estremi fanno parte del dominio, sostituendoli al posto della x nella serie?
ora devo verificare se gli estremi fanno parte del dominio, sostituendoli al posto della x nella serie?
No, il centro è $x_0=-1/6$.
Comunque ora sì, devi sostituire a $x$ gli estremi dell'intervallo $(x_0-r, x_0+r)$ e valutare se c'è convergenza o meno.
Comunque ora sì, devi sostituire a $x$ gli estremi dell'intervallo $(x_0-r, x_0+r)$ e valutare se c'è convergenza o meno.
perchè è $-1/6$?
Perchè una serie di potenze è scritta come $sum_(n=0)^oo a_n(x-x_0)$ e $x_0$ è il centro.
Qui per ulteriori dettagli.
Qui per ulteriori dettagli.
ok, rientrano nel dominio, tutti i punti fra $-1/3$ e $0$
per $x=0$
$sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n(1/6)^n=sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n*sum_(n=0)^(oo)(1/6)^n$
$sum_(n=0)^(oo)(1/6)^n=1/(1-1/6)=6/5$
giusto fin qui?
per $x=0$
$sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n(1/6)^n=sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n*sum_(n=0)^(oo)(1/6)^n$
$sum_(n=0)^(oo)(1/6)^n=1/(1-1/6)=6/5$
giusto fin qui?
Help!
Non capisco che cosa hai scritto.
Comunque sì, devi studiare la convergenza in $x=0$ e $x=-1/3$. Io studierei di nuovo la convergenza separatamente nelle due serie in cui avevi spezzato la serie originaria; dove convergono entrambe allora converge anche la serie di partenza, dove anche solo una delle due non converge, non converge nemmeno quella di partenza.
Comunque sì, devi studiare la convergenza in $x=0$ e $x=-1/3$. Io studierei di nuovo la convergenza separatamente nelle due serie in cui avevi spezzato la serie originaria; dove convergono entrambe allora converge anche la serie di partenza, dove anche solo una delle due non converge, non converge nemmeno quella di partenza.
1)Allora ho sostituito la x nella serie.
$sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n(1/6)^n
2)ho spezzato la serie in due
$sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n*sum_(n=0)^(oo)(1/6)^n
3)ho risolto la seconda serie
$sum_(n=0)^(oo)(1/6)^n=6/5$ (quindi converge)
non so come risolvere $sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n$
$sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n(1/6)^n
2)ho spezzato la serie in due
$sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n*sum_(n=0)^(oo)(1/6)^n
3)ho risolto la seconda serie
$sum_(n=0)^(oo)(1/6)^n=6/5$ (quindi converge)
non so come risolvere $sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n$
"BHK":
1)Allora ho sostituito la x nella serie.
$sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n(1/6)^n
2)ho spezzato la serie in due
$sum_(n=0)^(oo)(5^n+(-6)^n)/n*sum_(n=0)^(oo)(1/6)^n
Sulla base di quale proprietà?
Un conto è ridursi alla somma di due serie; affare ben più delicato è la moltiplicazione.
In ogni caso, personalmente trovo privo di fondamento logico il tuo passaggio. Ti invito a scrivere la serie come somma di due serie (come abbiamo già fatto prima).
in effetti non ho trovato nessuna proprietà che definisca una moltiplicazione simile, comunque l'intento era di determinare la convergenza della serie in un dato punto.
posso modificare in qualche modo la serie prima di applicare un criterio per verificare la convergenza?
posso modificare in qualche modo la serie prima di applicare un criterio per verificare la convergenza?
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