Algebra \(L^{\infty}(E)\)

[4mrkv]

12.20 F.A. Rudin link. Mi sembra dica che \(f(p) \in V\) iff \(p \in \omega\) e \(E(\omega)=0\). La parte diretta è semplice: se \(f(p)\in V\) allora \(p \in f^{-1}(D_{i})\) e pongo \(\omega=f^{-1}(D_{i})\). Per la parte inversa, ipotizzando che \(\mbox{int}(f(\omega))\neq \emptyset\) ho
\[
\begin{split}
f(p)
&\in D_{i} \\
&\subset \mbox{int}(f(\omega)) \\
&\subset f(\omega) \\
\end{split}
\]
siccome \(D_{i}\) formano una base. Ora \(E(D_{i})=0\) e quindi \(f(p)\in V\). E' corretto? Come ricavo la categoria di \(f(\omega)\)?

Ora devo capire come mai \(N\subset B\) è un ideale chiuso. Devo usare 12.19. Ho pensato di farlo prendendo \(f_{n}\rightarrow f \in N^{-}\). Per ogni \(f_{n}\) vale \(f(p)\neq 0\) allora \(p \in \omega_{n}\) t.c. \(E(\omega_{n})=0\). Se ponessi \(\omega_{n}=\cup_{1}^{n}\omega_{i}\) potrei mostrare che \(\omega_{\infty}\) è associato in qualche modo a \(f(p)\)? Si avrebbe \(E(\omega_{\infty})=0\) per 12.19.

Poi mi ritrovo: \(||f||=\sup \{|f(p)|, p \in \Omega\}, ||f||_{\infty}=\sup \{|\lambda|,\lambda \in K\}, ||[f]||=\inf\{||f-g||,g \in N\}\). Dove \(K=K(f)\) è il rango essenziale. Devo mostrare che le ultime due coincidono ma mi sembra tutto troppo confuso. Potendo almeno scambiare \(\inf\) e \(\sup\)
\[
\begin{split}
||[f]||
&=\inf\{||f-g||,g \in N\} \\
&=\inf\{\sup\{|f(p)-g(p)|,p\in \Omega\},g \in N\} \\
&=\sup\{\inf\{|f(p)-g(p)|,g \in N\},p\in \Omega\}
\end{split}
\]
mi ritroverei a dovere mostrare che i due insiemi coincidono o che per ogni elementi di un insieme posso trovarne uno dell'altro più grande e viceversa.

[rino6999]

un consiglio
posta la tua domanda "Algebra" nella sezione Algebra

[4mrkv]

Il contesto è quello delle algebre di Banach ma in realtà la domanda riguarda un po' di misura, topologia ed equivalenza fra norme. Se la sezione è sbagliata prego ad un moderatore di spostare.

[rino6999]

sai,più che altro perchè si parla anche di ideali
ma può darsi anche che mi sbagli .......

[4mrkv]

gasp