Algebra lineare - Span

[peduz91]

Salve,

ho un problema nel capire un esercizio di algebra lineare, quelli del tipo:

Stabilire per quali valori del parametro k il vettore w appartiene allo Span.
Vi scrivo un esempio ma non mi interessa che mi risolviate l'esercizio, grazie:

1. Siano dati in R3 i vettori:
v1(1, k, 2), v2=(2, -2, 0), v3 = (k, 0, -1), w = (1, 0, -1).
a) Dare i valori di k per i quali w ∈ span{v1, v2, v3}.
b) Dare i valori di k per i quali i tre vettori v1, v2, v3 sono linearmente
indipendenti.
Ora sul libro i valori sono in colonna ma non credo cambi granché...
Grazie in anticipo :)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, dati in

[math]\mathbb{R}^3[/math]

i vettori

[math]
v_1=\begin{bmatrix}1\\k\\2\end{bmatrix} \; \; \; \; \;
v_2=\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix} \; \; \; \; \;
v_3=\begin{bmatrix}k\\0\\-1\end{bmatrix} \; \; \; \; \;
w=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix} \\
[/math]

a.

[math]w \in span\left\{v_1,\,v_2,\,v_3\right\} \; \; \Leftrightarrow \; \; \exists \; x,y,z : w = x\,v_1+y\,v_2+z\,v_3 \; ;\\[/math]

a conti fatti:

[math]\begin{cases}x=\frac{1-k}{1+3k}\\y=\frac{k(1-k)}{2(1+3k)}\\z=\frac{3+k}{1+3k} \end{cases}\;\;\Rightarrow \; \; \forall\,k\in\mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{1}{3}\right\}\;.\\[/math]

b.

[math]v_1,\,v_2,\,v_3[/math]

sono linearmente indipendenti se e soltanto se

[math]\vec{0}= x\,v_1+y\,v_2+z\,v_3\\[/math]

solo per

[math](x,\,y,\,z)=(0,\,0,\,0)\,.\\[/math]

A conti fatti si scopre che ciò è verificato se

[math]k\ne -\frac{1}{3}\\[/math]

;

in caso contrario quei tre vettori sono linearmente dipendenti.

[peduz91]

Aspetta che non ho capito il primo passaggio, cioè io ho dovuto saltare un tot di lezioni ma comunque questa cosa specifica (dell'appartenenza allo span) la prof l'ha bellamente saltata così io non capisco che ragionamento c'è dietro...Io per dire avrei detto ∀k∈R e basta. Perché secondo me w sta in

[math]R^3[/math]

comunque. A questo punto mi sa che dello span non ho capito granché :\

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ti dirò, il fatto è molto semplice. Per definizione lo span è un sottospazio vettoriale costituito
da tutti i vettori che possono essere scritti come combinazione lineare dei vettori dati.

In questo caso, ponendo

[math]k=-\frac{1}{3}[/math]

non è difficile convincersi del fatto che

[math]w[/math]

non può
essere scritto in alcun modo come la combinazione lineare dei vettori

[math]v_1,\,v_2,\,v_3[/math]

.
Tutto qui :)

[peduz91]

Ma allora io avevo capito un'altra cosa :/ io avevo capito che lo span è l'insieme delle combinazioni lineari di vettori e di conseguenza non è importante che un vettore sia combinazione lineare degli altri dati, basta che possa in qualche modo stare dentro all'insieme....ad esempio io avevo pensato che se ci fosse stato un

[math]x^2 + 3x[/math]

questo non avrebbe potuto essere nello span dei vettori sopracitati. Comunque credo di aver sbagliato pure i calcoli XD perché a me me per l'indipendenza lineare k veniva diverso da -1 e -1/2....mi sa che mi devo rivedere l'esercizio

Aggiunto più tardi:

Ma allora io avevo capito un'altra cosa :/ io avevo capito che lo span è l'insieme delle combinazioni lineari di vettori e di conseguenza non è importante che un vettore sia combinazione lineare degli altri dati, basta che possa in qualche modo stare dentro all'insieme....ad esempio io avevo pensato che se ci fosse stato un

[math]x^2 + 3x[/math]

questo non avrebbe potuto essere nello span dei vettori sopracitati. Comunque credo di aver sbagliato pure i calcoli XD perché a me me per l'indipendenza lineare k veniva diverso da -1 e -1/2....mi sa che mi devo rivedere l'esercizio

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Ma allora io avevo capito un'altra cosa :/ io avevo capito che lo span è l'insieme delle combinazioni lineari di vettori e di conseguenza non è importante che un vettore sia combinazione lineare degli altri dati, basta che possa in qualche modo stare dentro all'insieme....ad esempio io avevo pensato che se ci fosse stato un

[math]x^2 + 3x[/math]

questo non avrebbe potuto essere nello span dei vettori sopracitati. Comunque credo di aver sbagliato pure i calcoli XD perché a me me per l'indipendenza lineare k veniva diverso da -1 e -1/2....mi sa che mi devo rivedere l'esercizio

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Mi sa che ti tocca studiare le definizioni che in quanto tali si trovano in qualsiasi libro
di algebra lineare. Qualche nozione la puoi trovare qui, in particolare vedi a pagina 4.

[peduz91]

Sulle dispense che sto studiando è spiegato in maniera più esaustiva, ma non avevo capito come procedere :) Grazie mille

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

P.S. per l'indipendenza lineare, un metodo molto pratico è quello di accostare i vettori in oggetto
e calcolare il determinante della matrice così ottenuta: l'annullarsi del determinante è indice di dipendenza lineare (chiaramente la matrice deve essere quadrata...) :)

[peduz91]

Emh...si studierò tra poco questi concetti :D sono un po' indietro in effetti :/