Algebra lineare - Geometria dello spazio

[Lucasso]

Determinare equazioni cartesiane della retta r’ proiezione ortogonale della retta r : { x - z + 2 = 0 ; x + y + z - 1 = 0 } sul piano a : 2x - y + z - 3 = 0. Posto A = r ∩ a , determinare su r un punto B tale che, detta C la sua proiezione ortogonale su a, il triangolo ABC abbia area pari a (5rdq(11))/12.

[mc2]

Ho fatto dei calcoli in modo veloce, senza ricontrollare.
Ti consiglio di ricontrollare bene tutti i conti!!


Per trovare la retta r' bisogna trovare il piano passante per r e perpendicolare al piano a. L'intersezione tra questo piano e a sara` la retta r'.

Un vettore perpendicolare al piano a e`

[math]\vec{n}=(2,-1,1)[/math]

Il generico piano passante per r si scrive come:

[math]\alpha(x-z+2)+\beta(x+y+z-1)=0[/math]

ed un vettore perpendicolare e`:

[math]\vec{m}=(\alpha+\beta,\beta,-\alpha+\beta)[/math]

Bisogna imporre che i due piani siano perpendicolari:

[math]\vec{n}\cdot\vec{m}=0[/math]

[math]2(\alpha+\beta)-\beta+(-\alpha+\beta)=0[/math]

cioe`

[math]\alpha+2\beta=0[/math]

Scelgo

[math]\beta=-1[/math]

,

[math]\alpha=2[/math]

Il piano cercato e' :

[math]x-y-3z+5=0[/math]

Quindi la retta r' si ottiene come intersezione tra questo piano e a:

r' :

[math]x-y-3z+5=2x - y + z - 3 =0[/math]

Il punto A e` l'intersezione tra r e il piano A. Facendo i conti si trova:

[math]A(0,-1,2)[/math]

La retta r si puo` scrivere in forma parametrica come :

[math]r:~~\left\{\begin{array}[c]{l}
x=t-2 \\ y=-2t+3 \\ z=t
\end{array}\right.
[/math]

Quindi un generico punto B di r ha coordinate:

[math]B(t-2,-2t+3,t)[/math]

Il triangolo ABC e` rettangolo in C, quindi bisogna trovare la lunghezza dei cateti BC e AC.

La lunghezza BC si ottiene calcolando la distaze di B dal piano a:

[math]BC=\frac{|2(t-2)-(-2t+3)+t-3|}{\sqrt{6}}=\frac{5}{\sqrt{6}}|t-2|
[/math]

AB e` l'ipotenusa del triangolo e la sua lunghezza e`:

[math]AB=\sqrt{(t-2-0)^2+(-2t+3+1)^2+(t-2)^2}=[/math]

[math]=\sqrt{(t-2)^2+4(t-2)^2+(t-2)^2}=\sqrt{6}|t-2|[/math]

Il cateto AC si ottiene con il teorema di Pitagora:

[math]AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=|t-2|\sqrt{6-\frac{25}{6}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}|t-2|[/math]

L'area del triangolo ABC e`

[math]\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{5\sqrt{11}}{12}(t-2)^2[/math]

e deve valere

[math]\frac{5\sqrt{11}}{12}[/math]

quindi:

[math](t-2)^2=1[/math]

che ammette due soluzioni: t=1 e t=3, quindi ci sono due possibilita` per B:

[math]B_1=(1,1,1)[/math]

e

[math]B_2(-1,-3,3)[/math]

Come ho scritto sopra, ti consiglio di rifare tutti i conti.