Algebra lineare - Applicazioni lineari ker(L)
Ciao ragazzi, scrivo di nuovo per chiedere una mano al popolo di skuola.
Il problema è che non so se sono riuscito a capire bene il funzionamento delle applicazioni lineari.
Posto un esercizio e la risoluzione che ho dato io per capire se ragiono bene, ovvero se ho capito come fare.
1. Sia data l’applicazione lineare f : R2 −→ R2 f(e1) = 3e1 − 3e2,
f(e2) = 2e1 − 2e2. Si calcoli ker.
Ora l'esercizio l'ho così risolto:
L(x,y) = L(xe1 + ye2) =
= xL(e1) + yL(e2) =
= x(3e1 - 3e2) + y(2e1 - 2e2) =
= L(x,y) = (3x + 2y, -3x -2y) =
ker(L) = {(x,y)| L(x,y) = (3x + 2y, -3x -2y) = (0,0)} =
= {3x + 2y = 0, -3x -2y = 0}.
E ora la soluzione qual è? (si lo so che sembra scemo m mi sono bloccato qui
P.S. sul libro OVVVIAMENTE non ci sono le soluzioni -.-)
Grazie
Il problema è che non so se sono riuscito a capire bene il funzionamento delle applicazioni lineari.
Posto un esercizio e la risoluzione che ho dato io per capire se ragiono bene, ovvero se ho capito come fare.
1. Sia data l’applicazione lineare f : R2 −→ R2 f(e1) = 3e1 − 3e2,
f(e2) = 2e1 − 2e2. Si calcoli ker.
Ora l'esercizio l'ho così risolto:
L(x,y) = L(xe1 + ye2) =
= xL(e1) + yL(e2) =
= x(3e1 - 3e2) + y(2e1 - 2e2) =
= L(x,y) = (3x + 2y, -3x -2y) =
ker(L) = {(x,y)| L(x,y) = (3x + 2y, -3x -2y) = (0,0)} =
= {3x + 2y = 0, -3x -2y = 0}.
E ora la soluzione qual è? (si lo so che sembra scemo m mi sono bloccato qui
P.S. sul libro OVVVIAMENTE non ci sono le soluzioni -.-)
Grazie
Risposte
Hai risolto correttamente. A questo punto si tratta di trovare la soluzione del sistema
Se osservi attentamente, ti accorgi che in realtà le due equazioni sono identiche, per cui la soluzione è data dalla risoluzione di
e quindi si ha
Ne segue che
[math]3x+2y=0,\qquad -3x-2y=0[/math]
Se osservi attentamente, ti accorgi che in realtà le due equazioni sono identiche, per cui la soluzione è data dalla risoluzione di
[math]3x+2y=0\ \Rightarrow\ x=-\frac{2}{3} y[/math]
e quindi si ha
[math]\ker(L)=\left\{\left(-\frac{2}{3} y, y\right)\ |\ y\in\mathbb{R}\right\}[/math]
Ne segue che
[math]\dim\ \ker(L)=1[/math]
poiché i vettori che ne fanno parte dipendono da un solo parametro e che [math]B=\{(-2,3)\}[/math]
(ottenuta scegliendo [math]y=3[/math]
) è una base.
Ok, grazie mille.
Per trovare invece l'immagine io dico che l'immagine è 2, perché la dimensione di
Per trovare invece l'immagine io dico che l'immagine è 2, perché la dimensione di
[math]R^2[/math]
è 2, è corretto anche questo?
No: in questo caso devi usare il teorema delle dimensioni che afferma quanto segue: se
Per cui...
[math]F:V\rightarrow W[/math]
è una applicazione lineare tra due spazi vettoriali, allora si ha[math]\dim V=\dim(\ker(F))+\dim(Im(F))[/math]
Per cui...
Per cui sarebbe 3 oppure non ho capito come si trova
[math]dim(Im(F))[/math]
?
In questo caso
Un minimo di attenzione nell'applicare le cose che ti vengono dette (e che, tra l'altro, dovresti conoscere prima di lanciarti in risoluzioni di esercizi di vario genere) sarebbe gradita!
[math]V=\mathbb{R}^2[/math]
e quindi[math]\dim(Im(F))=2-1=1[/math]
Un minimo di attenzione nell'applicare le cose che ti vengono dette (e che, tra l'altro, dovresti conoscere prima di lanciarti in risoluzioni di esercizi di vario genere) sarebbe gradita!
Scusami ma sulle dispense su cui sto studiando non riesco a capire il metodo con il quale trovare la dimensione dell'immagine. Non sarò in grado io di trovarlo o non so cosa ma non riesco a capirlo...
Ti ho scritto la "formula", asta applicarla. Qual è il problema?
Mi hai scritto la formula della dimensione di V, ma quella dell'immagine? E' diversa suppongo e non ho capito come trovarla. Adesso mi sento un idiota perché da come parli sembra che tu mi stia dicendo in tutti i modi la stessa cosa ma io non la vedo.
Ma mi stai prendendo in giro? Scusa, se n è la dimensione di V, k la dimensione dle nucleo e i quella dell'immagine, quella formula vuol dire
n=k+i
Ora, non sai neanche risolvere le equazioni o non sei capace a leggere? E, ribadisco, il cervello, per studiare un esame, si accende: altrimenti ti ritrovi uno come me come docente che ti manda a casa senza tanti complimenti!
n=k+i
Ora, non sai neanche risolvere le equazioni o non sei capace a leggere? E, ribadisco, il cervello, per studiare un esame, si accende: altrimenti ti ritrovi uno come me come docente che ti manda a casa senza tanti complimenti!
A me manca i, come faccio a trovare i?
Aggiunto più tardi:
Aspetta, non è che devo fare n-k?
Aggiunto più tardi:
Aspetta, non è che devo fare n-k?
Ma dai?????
E va bene, io ti volevo chiedere se ci fosse un modo diverso da quell'equazione per trovare la dimensione dell'immagine.
No, non c'è: quel teorema è una cosa talmente forte che non c'è necessità di usare altri metodi, non trovi?
Decisamente, ma siccome sto facendo confusione vorrei mettere dei paletti sulle cose che sono riuscito a capire. Grazie mille.
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