Algebra Lineare (65423)

[Benz]

Salve, sto preparando l'esame in Algebra lineare per Ingegneria, e nei vari esercizi per prepararmi me ne sono capitati un paio di cui non riesco veramente a capacitarmi della soluzione...se potete aiutarmi eccovene 1:

3x-2y+5z=-4
2x+3y+4z=1
14x-5y+24z=-15

Fin qui tutto normale, evidente che si tratta di un sistema con infinite soluzioni..che pero' mi identifica in:

x=1-23t
y=1-2t
z=13t-1

con t € R


non riesco a capire in che modo fa apparire il parametro t..

Aggiunto 3 ore 53 minuti più tardi:

grazie mille :)..un ultima domanda..ma il procedimento finale per evitare le frazioni, mi sembra che sia molto personale o sbaglio? ad esempio la "a" e la "c" non potevo decidere che fossero "0"? l'equazione era ugualmente corretta.

p.s. Quindi se in sede di esame evito di fare il procedimento finale di de-frazionamento l'esito dell'esercizio sara' ugualmente corretto vero :P?

grazie ancora!

[ciampax]

E' una semplice e diretta applicazione del metodo di riduzione di Gauss. Scrivo direttamente la matrice completa dei coefficienti e la relativa riduzione passo passo (con

[math]R_i[/math]

indico la riga i-esima).

[math]\left(\begin{array}{ccc|c}
3 & -2 & 5 & -4\\ & & & \\ 2 & 3 & 4 & 1\\ & & & \\ 14 & -5 & 24 & -15
\end{array}\right)\qquad R_2\rightarrow 2R_1-3R_2,\ R_3\rightarrow 14R_1-3R_3\\

\left(\begin{array}{ccc|c}
3 & -2 & 5 & -4\\ & & & \\ 0 & -13 & -2 & -11\\ & & & \\ 0 & -13 & -2 & -11
\end{array}\right)[/math]

Per cui le ultime due equazioni coincidono e il sistema equivale a quello formato dalle due equazioni

[math]3x-2y+5z=-4\qquad 13y+2z=11[/math]

A questo punto puoi scegliere una qualsiasi delle variabili presenti come fosse un parametro: la cosa più ovvia è porre

[math]z=t,\qquad y=\frac{11-2t}{13},\qquad x=\frac{-50-79t}{39}[/math]

Il tuo libro ha fatto quella scelta ragionando così (questo per evitare le frazioni): dalla seconda equazione (quella con solo y e z) ha supposto che

[math]y=at+b,\qquad z=ct+d[/math]

e quindi

[math](13a+2c)t+(13b+2d)=11[/math]

da cui

[math]13a+2c=0,\qquad 13b+2d=11[/math]

e quindi scegli

[math]a=-2,\ c=13,\ b=1, d=-1[/math]

.

Aggiunto 2 ore 50 minuti più tardi:

Certo, quel procedimento è fatto ad hoc per questo caso. In generale, basta porre una delle variabili pari al parametro 8o, se c'è da scegliere più di un parametro, scegliere il numero corrispondente di variabili) e scrivere l'espressione delle altre variabili in termini dei parametri.