Algebra di limiti per eccesso/difetto
Ciao a tutti, vorrei capire come comportarmi in una situazione di questo tipo:
\[ f(x) \rightarrow 0^{\pm}, \quad g(x) \rightarrow 0^{\pm} \]
Come si comportano \[ f(x) + g(x), \quad f(x)\, g(x) \]? Tendono a $ 0^+ $ o a $ 0^- $? Quali sono i teoremi che consentono di concluderlo?
\[ f(x) \rightarrow 0^{\pm}, \quad g(x) \rightarrow 0^{\pm} \]
Come si comportano \[ f(x) + g(x), \quad f(x)\, g(x) \]? Tendono a $ 0^+ $ o a $ 0^- $? Quali sono i teoremi che consentono di concluderlo?
Risposte
Non si può dire nulla in generale sulla somma.
Infatti, considera:
\[
f(x):= \frac{1}{x} \qquad \text{e} \qquad g_1(x)=-\frac{1}{\sqrt{x}},\ g_2(x)=-\frac{1}{x},\ g_3(x)=-\frac{1}{x^2}\; ;
\]
evidentemente si ha:
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x)=0^+ \qquad \text{e} \qquad \lim_{x\to +\infty} g_k(x)=0^-
\]
però:
\[
\lim_{x\to +\infty}f(x)+g_1(x) =0^- ,\ \lim_{x\to +\infty}f(x)+g_2(x) =0,\ \lim_{x\to +\infty}f(x)+g_3(x) =0^+\; .
\]
Per quanto riguarda il prodotto... Beh, la regola dei segni è sempre valida.
Ad ogni modo, un consiglio di carattere generale è il seguente.
È inutile provare ad elencare tutti i millemila casi possibili e ad inquadrarli in uno schema: questa poteva essere una buona tattica quando eri al liceo (soprattutto se avevi un brutto libro di testo e/o un professore svogliato e non avevi voglia di sprecarti troppo sui libri), ma in generale non è cosa da farsi mai.
Quello che conta è ragionare su cosa si ha sotto il naso e cercare di applicare tutto ciò che si sa alla risoluzione di ogni singolo problema.
Infatti, considera:
\[
f(x):= \frac{1}{x} \qquad \text{e} \qquad g_1(x)=-\frac{1}{\sqrt{x}},\ g_2(x)=-\frac{1}{x},\ g_3(x)=-\frac{1}{x^2}\; ;
\]
evidentemente si ha:
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x)=0^+ \qquad \text{e} \qquad \lim_{x\to +\infty} g_k(x)=0^-
\]
però:
\[
\lim_{x\to +\infty}f(x)+g_1(x) =0^- ,\ \lim_{x\to +\infty}f(x)+g_2(x) =0,\ \lim_{x\to +\infty}f(x)+g_3(x) =0^+\; .
\]
Per quanto riguarda il prodotto... Beh, la regola dei segni è sempre valida.
Ad ogni modo, un consiglio di carattere generale è il seguente.
È inutile provare ad elencare tutti i millemila casi possibili e ad inquadrarli in uno schema: questa poteva essere una buona tattica quando eri al liceo (soprattutto se avevi un brutto libro di testo e/o un professore svogliato e non avevi voglia di sprecarti troppo sui libri), ma in generale non è cosa da farsi mai.
Quello che conta è ragionare su cosa si ha sotto il naso e cercare di applicare tutto ciò che si sa alla risoluzione di ogni singolo problema.
Grazie per il consiglio.
La mia domanda nasce perché a volte capitano situazioni come queste:
\[ \lim_{x \rightarrow +\infty}\, e^{\frac{1}{-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}} \]
dove il risultato cambia completamente in dipendenza dal limite della somma a denominatore.
Visto che mi hai dato un consiglio, proverò ad applicarlo.
Nel caso descritto, abbiamo
\[ \frac{1}{-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{-\frac{x-1}{x^2}} = -\frac{x^2}{x-1} \]
Dunque, avendo fatto questa osservazione, posso concludere con sicurezza che il limite sopra faccia \( 0^+ \) (cosa che non potevo fare se lo lasciavo così com'era).
Corretto?
Un'altra osservazione.
Il fatto che \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} -\frac{1}{x} = 0^- \] si ottiene osservando che \( -\frac{1}{x} = \frac{1}{-x} \) e il risultato segue dall'algebra dei limiti. Provando però ad applicare l'algebra dei limiti vedendo $ g_1(x) $ come \( (-1)\, \frac{1}{x} \), avrei un imbarazzante \( (-1) \cdot 0^+ \) che non saprei come gestire con l'algebra dei limiti.
A priori non sapevo dire quanto valesse il limite, ma utilizzando il ragionamento sono riuscito a portarmi in una situazione in cui sapevo muovermi.
Quel che mi domando è se tu abbia fatto o meno lo stesso ragionamento che ho fatto io.
La mia domanda nasce perché a volte capitano situazioni come queste:
\[ \lim_{x \rightarrow +\infty}\, e^{\frac{1}{-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}} \]
dove il risultato cambia completamente in dipendenza dal limite della somma a denominatore.
Visto che mi hai dato un consiglio, proverò ad applicarlo.
Nel caso descritto, abbiamo
\[ \frac{1}{-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{-\frac{x-1}{x^2}} = -\frac{x^2}{x-1} \]
Dunque, avendo fatto questa osservazione, posso concludere con sicurezza che il limite sopra faccia \( 0^+ \) (cosa che non potevo fare se lo lasciavo così com'era).
Corretto?
Un'altra osservazione.
Il fatto che \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} -\frac{1}{x} = 0^- \] si ottiene osservando che \( -\frac{1}{x} = \frac{1}{-x} \) e il risultato segue dall'algebra dei limiti. Provando però ad applicare l'algebra dei limiti vedendo $ g_1(x) $ come \( (-1)\, \frac{1}{x} \), avrei un imbarazzante \( (-1) \cdot 0^+ \) che non saprei come gestire con l'algebra dei limiti.
A priori non sapevo dire quanto valesse il limite, ma utilizzando il ragionamento sono riuscito a portarmi in una situazione in cui sapevo muovermi.
Quel che mi domando è se tu abbia fatto o meno lo stesso ragionamento che ho fatto io.
"Riccardo Desimini":
La mia domanda nasce perché a volte capitano situazioni come queste:
\[ \lim_{x \rightarrow +\infty}\, e^{\frac{1}{-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}} \]
dove il risultato cambia completamente in dipendenza dal limite della somma a denominatore.
Visto che mi hai dato un consiglio, proverò ad applicarlo.
Nel caso descritto, abbiamo
\[ \frac{1}{-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{-\frac{x-1}{x^2}} = -\frac{x^2}{x-1} \]
Dunque, avendo fatto questa osservazione, posso concludere con sicurezza che il limite sopra faccia \( 0^+ \) (cosa che non potevo fare se lo lasciavo così com'era).
Corretto?
No. Deve venire \(0^-\) all'esponente... Per un fatto molto semplice: per \(x>1\) hai \(x
Lascio a te il compito di ritrovare l'errore nei tuoi conti (che avrebbero portato ad un risultato corretto, ma hai certamente fatto un errore di segno da qualche parte).
"Riccardo Desimini":
Un'altra osservazione.
Il fatto che \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} -\frac{1}{x} = 0^- \] si ottiene osservando che \( -\frac{1}{x} = \frac{1}{-x} \) e il risultato segue dall'algebra dei limiti. Provando però ad applicare l'algebra dei limiti vedendo $ g_1(x) $ come \( (-1)\, \frac{1}{x} \), avrei un imbarazzante \( (-1) \cdot 0^+ \) che non saprei come gestire con l'algebra dei limiti.
Che vuol dire che una funzione tende a \(0^+\)?
Significa che essa tende a zero, ma conservando segno positivo.
Se moltiplichi qualcosa che tende a zero attraversando valori positivi per un fattore costante e negativo, ottieni, ovviamente, una funzione che tende a zero attraversando valori negativi.
Dunque \((-1)\ 0^+=0^-\), che non ti imbarazza più di tanto.
"gugo82":
Lascio a te il compito di ritrovare l'errore nei tuoi conti (che avrebbero portato ad un risultato corretto, ma hai certamente fatto un errore di segno da qualche parte).
Nessun errore, gugo: lo \( 0^+ \) è riferito al limite iniziale. Infatti sono d'accordo sul fatto che \( \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x} \rightarrow 0^- \).
Per quanto riguarda l'imbarazzo, ora è diminuito. Grazie.
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