Algebra degli o piccolo
Salve, volevo sapere alcune cose sugli o piccoli.
Infatti nel mio libro di testo mi spiega che se trovo $k o(x^alpha) = o(x^alpha)$
Ecco io volevo capire il perché di questa notazione. La mia idea è questa: k è una costante, ora se viene moltiplicata per una funzione che è molto piccola io posso trascurare la mia k. Mi sbaglio?
$o(o(x^alpha)) = o(x^alpha)$ oppure $x^alpha o(x^beta) = o(x^(alpha+beta))$ come le posso interpretare?
Stessa cosa per le altre notazioni.
Per farla breve, mi potete far capire con qualche esempio pratico come ci si deve comportare nei calcoli?
Infatti nel mio libro di testo mi spiega che se trovo $k o(x^alpha) = o(x^alpha)$
Ecco io volevo capire il perché di questa notazione. La mia idea è questa: k è una costante, ora se viene moltiplicata per una funzione che è molto piccola io posso trascurare la mia k. Mi sbaglio?
$o(o(x^alpha)) = o(x^alpha)$ oppure $x^alpha o(x^beta) = o(x^(alpha+beta))$ come le posso interpretare?
Stessa cosa per le altre notazioni.
Per farla breve, mi potete far capire con qualche esempio pratico come ci si deve comportare nei calcoli?
Risposte
L'importante è ricordare le definizioni degli $o$... se sai bene quella ti rispondi da solo. Ti invito a postarla, quindi!
$f(x) $è un $o(g(x))$ se$ lim_(x->infty) f(x)/g(x) = 0$
"Vincent":
$f(x) $è un $o(g(x))$ se$ lim_(x->infty) f(x)/g(x) = 0$
In realtà la cosa è un po' più generale.
Siano $A\subseteq RR^n$, $f,g:A\to RR$ e $x_0\in \bar(A)$.
Si scrive $f=o(g)$ in $x_0$ se e solo se:
$AA epsilon >0, exists delta>0: \quad AA x in ]x_0-delta,x_0+delta[\cap A\setminus \{x_0\} ,|f(x)|<=epsilon |g(x)|$.
La definizione corretta ingloba come caso particolare quella data da Vincent: infatti quest'ultima si ottiene facendo l'ulteriore ipotesi che risulti $g(x)!=0$ in un intorno di $x_0$.
Ok per la definizione ci sono, ora quello che ancora non mi convince è l'algebra di questi o piccoli. Infatti io sto considerando questi o piccoli come una classe di funzioni che vengono usati come termini di paragone tra funzioni, ora considerando che queste "entità" siano delle cosine molto piccole nello loro somme, o nel prodotto con una costante, $o(x^alpha)+o(x^alpha)=o(x^alpha)$ è consentito considerarne solo una, stessa cosa anche per $o(o(x^alpha))=o(x^alpha)$ ora il problema è che questa mia ipotesi è valida solo per alcune "regole" infatti: $(o(x^(alpha+beta)))/(x^beta)=o(x^alpha)$ non riesco a spiegarla secondo quello suddetto.
Voi cosa mi dite?
Voi cosa mi dite?
Basta usare la definizione che ti ho dato.
Supponiamo che in $x_0=0$ sia $f(x)=o(x^(alpha+beta))$, ossia che per ogni $epsilon >0$ risulti definitivamente $|f(x)|<=epsilon |x|^(alpha+beta)=epsilon|x|^alpha|x|^beta$ intorno a $0$; visto che risulta $|x|^beta>0$ (infatti nella definizione di $o$ il punto $x_0$ è escluso dai ragionamenti), si possono dividere ambo i membri esterni della precedente per $|x|^beta$ ottenendo:
$|(f(x))/x^beta|<=epsilon |x|^alpha \quad$ definitivamente intorno ad $0$
il che equivale a dire che $(f(x))/x^beta=o(x^alpha)$; potendosi ciò affermare per ogni $f(x)$ che è $o(x^(alpha +beta))$, possiamo introdurre la notazione $(o(x^(alpha+beta)))/x^beta=o(x^alpha)$.
Supponiamo che in $x_0=0$ sia $f(x)=o(x^(alpha+beta))$, ossia che per ogni $epsilon >0$ risulti definitivamente $|f(x)|<=epsilon |x|^(alpha+beta)=epsilon|x|^alpha|x|^beta$ intorno a $0$; visto che risulta $|x|^beta>0$ (infatti nella definizione di $o$ il punto $x_0$ è escluso dai ragionamenti), si possono dividere ambo i membri esterni della precedente per $|x|^beta$ ottenendo:
$|(f(x))/x^beta|<=epsilon |x|^alpha \quad$ definitivamente intorno ad $0$
il che equivale a dire che $(f(x))/x^beta=o(x^alpha)$; potendosi ciò affermare per ogni $f(x)$ che è $o(x^(alpha +beta))$, possiamo introdurre la notazione $(o(x^(alpha+beta)))/x^beta=o(x^alpha)$.
Ok problema risolto ora faccio qualche esercizio e vediamo cosa ne esce fuori.
Grazie...
Grazie...
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