Algebra (229378)

[gianni.mondo]

ciao mi aiutate ad impostare questo esercizio? Non riesco a capire cos'è C (devo comportarmi come se fosse una matrice 2x2 tipo (a,b,c,d)?)

Data M = 1 2
4 1
F :M2;2(R) !M2;2(R) l'applicazione definita da F(C) = CM - MC:
(a) Si determinino il nucleo e l'immagine
(b) Si dia la rappresentazione matriciale associata ad F rispetto alla base
canonica di M2;2(R) e se ne calcoli la traccia.

[mc2]

Non si riesce a capire il testo.
Le formule scritte cosi` sono incomprensibili. Usa il LaTeX, oppure scrivi su un foglio e metti qui la foto.

[gianni.mondo]

spero venga caricata la foto

[davi02]

1) Eseguendo i prodotti di matrici, si trova

F([a, b ; c, d]) = [4b-2c, 2a - 2d ; -4a+4d , -4b+2c]

Il nucleo ker(F) è formato dalle matrici C = [a, b ; c, d] soluzioni di

F([a, b ; c, d]) = [0, 0 ; 0 , 0]

Si ottiene

ker(F) = {[a, b ; c, d] : d = a, c = 2b} = L([1, 0 ; 0 , 1] , [0 , 1 ; 2 , 0])

(In altri termini, le matrici che commutano con M sono I, M e le loro combinazioni lineari.)

L’immagine im(F) è formata dalle matrici [p, q ; r, s] del tipo

[p, q ; r, s]) = [4b-2c, 2a - 2d ; -4a+4d , -4b+2c]

Si nota subito che s = -p, r = -2q, quindi

im(F) = {[p, q ; r, s] : s = -p, r = -2q} = L([1, 0 ; 0 , -1] , [0 , 1 ; -2 , 0])


2) La base canonica di M_2,2(R) è (E_1, E_2, E_3, E_4), dove

E_1 = [1, 0 ; 0, 0], E_2 = [0, 1 ; 0, 0], E_3 = [0, 0 ; 1, 0], E_4 = [0, 0 ; 0, 1].

Dato che

[a, b ; c, d] = aE_1 + bE_2 + cE_3 + dE_4

la matrice associata a F rispetto alla base canonica è la matrice 4x4 le cui righe sono i coefficienti delle equazioni di F([a, b ; c, d]):

[0, 4, -2, 0 ; 2, 0, 0, -2 ; -4, 0, 0, 4 ; 0, -4, 2, 0]

che ha traccia 0.