$aleph_2$

[Kroldar]

Non vorrei sbagliarmi, ma mi sembra che circa un annetto fa ho letto che l'insieme delle funzioni discontinue costituisce un insieme di cardinalità $aleph_2$... Qualcuno può confermare questa asserzione e, magari, postarne una dimostrazione? Suppongo che si intenda funzioni del tipo $f:RRtoRR$ con la topologia euclidea su dominio e codominio.

[Principe2]

$|{f:RR->RR}|\ge|f:RR->{0,1}|=|2^{RR}|>|RR|$

che poi sia proprio $aleph_2$... è l'ipotesi del continuo...

[Kroldar]

"ubermensch":
che poi sia proprio $aleph_2$... è l'ipotesi del continuo...

Hai ragione... io sono un fedele di Cantor

Per caso conosci la dimostrazione? Se non è troppo complicata ovviamente...

Un'altra cosa: tu mi hai confermato che l'insieme delle funzioni discontinue del tipo $f:RRtoRR$ ha cardinalità superiore ad $aleph_1$... cosa possiamo dire riguardo all'insieme delle funzioni continue sempre del tipo $f:RRtoRR$?

[david_e1]

L'insieme delle funzioni continue ha ancora cardinalità del continuo. Credo centri il fatto che sia insieme separabile (Stone-Weierstrass). Non conosco la dimostrazione.

[Kroldar]

Questa è bella! Le funzioni discontinue sono infinitamente più numerose di quelle continue... chi lo avrebbe detto. Intuitivamente come si potrebbe spiegare questo fatto?