Alcuni viluppi di taylor
Salve a tutti,
ho provato a scrivere alcuni sviluppi di taylor con resto di peano, ve li scrivo così mi potete dire se gli ho sbagliati o meno perchè non ne sono sicuro.
Il primo è $f(x) = log(1+arctan(X))$ con centro $0$ ed ordine $2$
Io mi sono trovato che è uguale a $arctan(x) - (arctan(x)^2)/2$
Un'altro un pò più strano è di calcolarsi $cos(x)$ con centro = $\pi$ ed ordine $3$.
Già a questo non so come fare. Ovvero, lo sviluppo di taylor so che si scrive come:
$\sum_{k=0}^n (-1)^k * x^(2k)/((2k)!) + o((x-x_0)^(2k+1))$
Ma se invece di centro $0$ abbiamo centro $\pi$ come ci dobbiamo conmportare? cioè cambia solo $o((x-x_0)^(2k+1))$ ? per il resto partiamo sempre da $0$ fino ad arrivare all'ordine $3$ ? Mi potete far vedere come verrebbe?
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
ho provato a scrivere alcuni sviluppi di taylor con resto di peano, ve li scrivo così mi potete dire se gli ho sbagliati o meno perchè non ne sono sicuro.
Il primo è $f(x) = log(1+arctan(X))$ con centro $0$ ed ordine $2$
Io mi sono trovato che è uguale a $arctan(x) - (arctan(x)^2)/2$
Un'altro un pò più strano è di calcolarsi $cos(x)$ con centro = $\pi$ ed ordine $3$.
Già a questo non so come fare. Ovvero, lo sviluppo di taylor so che si scrive come:
$\sum_{k=0}^n (-1)^k * x^(2k)/((2k)!) + o((x-x_0)^(2k+1))$
Ma se invece di centro $0$ abbiamo centro $\pi$ come ci dobbiamo conmportare? cioè cambia solo $o((x-x_0)^(2k+1))$ ? per il resto partiamo sempre da $0$ fino ad arrivare all'ordine $3$ ? Mi potete far vedere come verrebbe?
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
Risposte
Rileggendo la descrizione di quello sviluppo noto mi sembra che funzioni solo per gli sviluppi di centro $0$. E se il centro non è zero che si fa?
Quelle che hai scritto sono solo le derivate (non so se sono giuste, perchè non mi trovo 
)! Devi applicarle nella formula di Taylor. (risultato è $x-x^2/2$)
Se era di centro $\pi$, dovevi poi sostituire alla $x$ la $\pi$ invece dello $0$
)! Devi applicarle nella formula di Taylor. (risultato è $x-x^2/2$)Se era di centro $\pi$, dovevi poi sostituire alla $x$ la $\pi$ invece dello $0$
Quelle della formula di sopra dovrebbe essere abbastanza sicuro no? ho solo fatto il $log(1+x)$ e poi alla $x$ ho sostituito $arctan(x)$.
ma quindi se varia il centro devi solo sostituirlo al posto delle $x_0$?
ma quindi se varia il centro devi solo sostituirlo al posto delle $x_0$?
Certo, si, l'$x_0$ è proprio quel valore lì
Comunque non puoi fare quella sostituzione lì, perchè se metti uno $0$ nell'arcotangente, ti viene $0$.
Fai le derivate della funzione e scoprirai che nello $0$ valgono $1$ e $-1$ (prima e seconda)
Comunque non puoi fare quella sostituzione lì, perchè se metti uno $0$ nell'arcotangente, ti viene $0$.
Fai le derivate della funzione e scoprirai che nello $0$ valgono $1$ e $-1$ (prima e seconda)
Ma quindi che me ne faccio di quella formula abbrevviata se poi devo comunque ritrovarmi a fare le derivate?
Ma quella formula non è lo sviluppo di taylor. Senza derivate non ci sarebbe proprio sviluppo di Taylor
"faximusy":
Ma quella formula non è lo sviluppo di taylor. Senza derivate non ci sarebbe proprio sviluppo di Taylor
Ma quella è una formula abbreviata fatta apposta per logaritmo, è una specie di formula "chiusa" che ti permette direttamente di evitarti le derivate.
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