Alcuni quesiti per induzione

[Kashaman]

Provo una certa difficoltà a provare questi quesiti per induzione.
Provare che $AA n in NN : 3^n>=n2^n$

Allora $P_0 : 3^0=1>=0$ è vera, suppongo vera $P_n$ e dimostro che è vera $P_(n+1)$
Ho che $3^(n+1)=3^n*3>=n2^n*3$ per ipotesi induttiva ma qui mi blocco, non riesco ad arrivare a dire che $3^(n+1)>=(n+1)2^(n+1)$ cosa sbaglio?
grazie

[theras]

Perchè non provi a verificare che $3n*2^n>=(n+1)*2^(n+1)hArr..hArr3n>=2n+2$?
Saluti dal web.
P.S.
Forse è il caso che fai partire il tuo procedimento di dimostrazione per induzione da P(2),
e poi ottieni "a gratis" i casi n=0 ed n01 per sostituzione diretta..

[Kashaman]

Piccola domanda sciocca, se utilizzo come base $P_2$ , la mia ipotesi induttiva è $P_(n+2)$ e ciò che devo dimostrare è che $P_(n+2+1)$ è vera, giusto?

[Kashaman]

mi spiego. Ho agito così.
Voglio provare che $AA n in NN : 3^n >=n2^n$
Per $n in {0,1}$ la tesi è banalmente vera. Provo la tesi per $n>=2$. Sia $k in NN$ . Il tutto è equivalente a mostrare che $AA k in NN : 3^(k+2)>=(k+2)2^(k+2)$
Per $k=0$ la tesi è banalmente vera infatti $9>8$. Suppongo che $P_k$ è vera.
Allora $3^((k+1)+2) = 3^(k+2)*3>=(k+2)2^(k+2)3=(3k+6)>=(2k+6)2^(k+2) = 2(k+3)2^(k+2)=(k+3)2^(k+3)$ la tesi.
Da cui, risulta che $3^n>=n*2^n$ per ogni $n$.
Che ne dite?

[Plepp]

Ciao Kash

"Kashaman":mi spiego. Ho agito così.
Voglio provare che $AA n in NN : 3^n >=n2^n$
Per $n in {0,1}$ la tesi è banalmente vera. Provo la tesi per $n>=2$. Sia $k in NN$ . Il tutto è equivalente a mostrare che $AA k in NN : 3^(k+2)>=(k+2)2^(k+2)$
[...]
Che ne dite?

Sinceramente non ho capito...Tuttavia, come te e come theras (che saluto! ), sono anch'io dell'idea che convenga partire da $n=2$. Una volta dimostrato che $P_n$ è vera per $n=0,1$, supponiamo che sia vera per ogni $n\ge 2$; abbiamo
\[3^{n+1}=3\cdot 3^n\ge 3n2^n=n2^n+n2^n+n2^n\ge n2^n+n2^n+2\cdot 2^n=(n+1)2^{n+1}\]
Che ne dici?

[Kashaman]

perfetto plepp