Alcuni, ma essenziali chiarimenti per un buon compito!
Salve a tutti. Domani ho la simulazione del compito di matematica, per questo vorrei prepararmi bene (la prova vale anche come compito in classe).
Sarei grato se riusciste a fugare i seguenti dubbi:
1. Cosa significa calcolare le radici di un equazione? No so, ad esempio le radici di $3^{x+3}$ + $9^{x+1}$ = 10
2. Come si fa a dimostrate che la somma di un qualsiasi numero reale positivo e del suo reciproco è almeno 2 ?
3. Non riesco a trovare un esmpio di polinomio il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte!
4. Come posso determinare l'equazione del luogo geometrico dei centri delle circonferenze del piano tangenti alla parabola y= $x^2$ + 1 nel punto (1;2) ? Ci saranno esercizi di questo tipo...
5. Se io ho una funzione del tipo f(x) = $\pi$^x$ - $ x^$\pi$, qual è il suo dominio? E com'è il segno della derivata prima e seconda in x= $\pi$ ?
Grazie di cuore! =)
Sarei grato se riusciste a fugare i seguenti dubbi:
1. Cosa significa calcolare le radici di un equazione? No so, ad esempio le radici di $3^{x+3}$ + $9^{x+1}$ = 10
2. Come si fa a dimostrate che la somma di un qualsiasi numero reale positivo e del suo reciproco è almeno 2 ?
3. Non riesco a trovare un esmpio di polinomio il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte!
4. Come posso determinare l'equazione del luogo geometrico dei centri delle circonferenze del piano tangenti alla parabola y= $x^2$ + 1 nel punto (1;2) ? Ci saranno esercizi di questo tipo...
5. Se io ho una funzione del tipo f(x) = $\pi$^x$ - $ x^$\pi$, qual è il suo dominio? E com'è il segno della derivata prima e seconda in x= $\pi$ ?
Grazie di cuore! =)
Risposte
guardando la 5 direi a occhio che il dominio è $[0;+infty)$ perchè $pi^x$ è definita su tutti i reali mentre $x^pi$ è definita per $x>=0$ perchè l'esponente è positivo
sto provando a fare la derivata dopo te la scrivo
sto provando a fare la derivata dopo te la scrivo
Ti ringrazio con il cuore! =)
allora , se non sbaglio, la derivata prima è
$f'(x)=pi^xlnpi-pix^(pi-1)$
mentre la derivata seconda è
$f ''(x) = pi^x ( lnpi)^2 −pi(pi−1) x^(pi−2)$
capito perchè? se hai capito, prova a sostituire il $pi$ nelle due espressioni, sennò chiedi, io intanto penso agli altri
$f'(x)=pi^xlnpi-pix^(pi-1)$
mentre la derivata seconda è
$f ''(x) = pi^x ( lnpi)^2 −pi(pi−1) x^(pi−2)$
capito perchè? se hai capito, prova a sostituire il $pi$ nelle due espressioni, sennò chiedi, io intanto penso agli altri
1) significa trovare tutti i valori di $x$ che soddisfano l'equazione (aka soluzioni), ovvero per cui l'uguaglianza è verificata. Nel tuo caso si ha $3^x*3^3 + 9^x*9 = 10 <=> 3^x + 3^3x = 10/9 <=> x + 3x = log_3 (10/9) <=> x = (log_3 (10/9))/4$
2) Per i razionali è semplice: supponiamo per assurdo che esista un elemento $q$ di $QQ^+$ la cui somma con il proprio inverso sia inferiore a 2. Tale elemento sarà del tipo $(n+k)/n$ con $n in NN - {0}, k in NN =>$ $(n+k)/n+n/(n+k) = (n^2 + k^2 + 2nk + n^2)/(n(n+k)) = (2n^2 + 2nk)/(n(n+k)) + k^2/(n(n+k)) = (2n(n+k))/(n(n+k)) + k^2/(n(n+k)) = 2+ k^2/(n(n+k))$; non so se da qui si può estendere ai $RR$, ma non sono tanto convinto. Sto pensando a come fare per i reali, pensavo ad una funzione $f(x) = x+1/x$ ma mi sa che sbaglio i conti...
3) Basta trovare un polinomio con quattro radici reali distinte in $y$, ovvero $(y-a)(y-b)(y-c)(y-d)$, $EE a, b, c, d, in RR$
4) il luogo dei centri delle circonferenze tangenti in uno stesso punto ad una parabola è semplicemente la retta ortogonale alla retta tangente alla parabola in quel punto...
2) Per i razionali è semplice: supponiamo per assurdo che esista un elemento $q$ di $QQ^+$ la cui somma con il proprio inverso sia inferiore a 2. Tale elemento sarà del tipo $(n+k)/n$ con $n in NN - {0}, k in NN =>$ $(n+k)/n+n/(n+k) = (n^2 + k^2 + 2nk + n^2)/(n(n+k)) = (2n^2 + 2nk)/(n(n+k)) + k^2/(n(n+k)) = (2n(n+k))/(n(n+k)) + k^2/(n(n+k)) = 2+ k^2/(n(n+k))$; non so se da qui si può estendere ai $RR$, ma non sono tanto convinto. Sto pensando a come fare per i reali, pensavo ad una funzione $f(x) = x+1/x$ ma mi sa che sbaglio i conti...
3) Basta trovare un polinomio con quattro radici reali distinte in $y$, ovvero $(y-a)(y-b)(y-c)(y-d)$, $EE a, b, c, d, in RR$
4) il luogo dei centri delle circonferenze tangenti in uno stesso punto ad una parabola è semplicemente la retta ortogonale alla retta tangente alla parabola in quel punto...
per la seconda considera la disequazione $x+1/x>=2$
cosi te la porti in questa forma $(x^2+1)/x>=2$?
arrivati qua moltiplicherei per $x$ entrambi i membri perchè $x$ è positivo fino ad arrivare a $x^2-2x+1>=0$
quindi $(x-1)^2>=0$ che è sempre verificata perchè $x$ è positivo per ipotesi.
cosi te la porti in questa forma $(x^2+1)/x>=2$?
arrivati qua moltiplicherei per $x$ entrambi i membri perchè $x$ è positivo fino ad arrivare a $x^2-2x+1>=0$
quindi $(x-1)^2>=0$ che è sempre verificata perchè $x$ è positivo per ipotesi.
"blabla":
per la seconda considera la disequazione $x+1/x>=2$
cosi te la porti in questa forma $(x^2+1)/x>=2$?
arrivati qua moltiplicherei per $x$ entrambi i membri perchè $x$ è positivo fino ad arrivare a $x^2-2x+1>=0$
quindi $(x-1)^2>=0$ che è sempre verificata perchè $x$ è positivo per ipotesi.
Buono
Approfitto per chiedere chiarimenti: se considero $f(x)=x+1/x$, $x in RR$ e ne studio la derivata prima ottengo $f^{\prime}(x) = 1 - 1/(x^2)$ che ha una soluzione ed è negativa prima di 1 $=>$ f(x) è decresce prima di 1 ma cresce dopo 1... che è palesemente errato, cosa sbaglio?
Per il numero tre, penso che basti prendere un polinomio che tagli l'asse delle X quattro volte e che si annulli 4 volte.
(un esempio di questo polinomio può essere: $(x^2 - 9) * (x^2 - 1)$ e lo trasli di due rispetto all'asse delle X)
cosa ti esce come risultato?
(un esempio di questo polinomio può essere: $(x^2 - 9) * (x^2 - 1)$ e lo trasli di due rispetto all'asse delle X)
cosa ti esce come risultato?
intendi traslazione di vettore V (2;0) ?
dunque Aethelmyth, ponendo la derivata prima $1-1/x^2>=0$
si nota che la funzione cresce tra 0 e 1 e cresce per $x>1$ quindi 1 è un minimo per questa funzione ( considero la funzione per x>0 perchè è dispari),
quindi f(1)=2, cioè A(1;2) è un minimo della funzione cosi come B(-1;-2) è un massimo.
ma per ipotesi gli x devono essere positivo, quindi in sostanza si ha che $|f(x)|>=2$ sempre
spero di essere stato chiaro, ciao
si nota che la funzione cresce tra 0 e 1 e cresce per $x>1$ quindi 1 è un minimo per questa funzione ( considero la funzione per x>0 perchè è dispari),
quindi f(1)=2, cioè A(1;2) è un minimo della funzione cosi come B(-1;-2) è un massimo.
ma per ipotesi gli x devono essere positivo, quindi in sostanza si ha che $|f(x)|>=2$ sempre
spero di essere stato chiaro, ciao
"blabla":
dunque Aethelmyth, ponendo la derivata prima $1-1/x^2>=0$
si nota che la funzione cresce tra 0 e 1 e cresce per $x>1$ quindi 1 è un minimo per questa funzione ( considero la funzione per x>0 perchè è dispari),
quindi f(1)=2, cioè A(1;2) è un minimo della funzione cosi come B(-1;-2) è un massimo.
ma per ipotesi gli x devono essere positivo, quindi in sostanza si ha che $|f(x)|>=2$ sempre
spero di essere stato chiaro, ciao
Oddio si, non so perché ma pensavo al contrario la monotonia nell'intervallo $(0,1)$
"Aethelmyth":
1) significa trovare tutti i valori di $x$ che soddisfano l'equazione (aka soluzioni), ovvero per cui l'uguaglianza è verificata. Nel tuo caso si ha $3^x*3^3 + 9^x*9 = 10 <=> 3^x + 3^3x = 10/9 <=> x + 3x = log_3 (10/9) <=> x = (log_3 (10/9))/4$
Non ho capito questo passaggio....potresti spiegarmelo?
neanche io la capisco, comunque
$3^(x+3)+3^(2x+2)=3^2+3^0$
cioè $x+3+2x+2=2$
ovvero $3x=-3$ e quindi$x=-1$ che se lo sostiutisci nell'equazione di partenza ti verifica l'identità
$3^(x+3)+3^(2x+2)=3^2+3^0$
cioè $x+3+2x+2=2$
ovvero $3x=-3$ e quindi$x=-1$ che se lo sostiutisci nell'equazione di partenza ti verifica l'identità
Riguardo all'espressione [tex]3^{x+3}+9^{x+1}=10[/tex] si può procedre anche in un altro modo (se non ti veniva subito scrivere [tex]10= 3^2 + 3^0[/tex])... Innanzitutto l'espressione può essere così riscritta
[tex]3^3\cdot 3^x + 3^2 \cdot 3^{2x} = 10[/tex]. Posto [tex]3^x=y[/tex] il tutto si riduce a risolvere un'equazione di 2° grado [tex]9y^2 + 27y - 10=0[/tex]
[tex]3^3\cdot 3^x + 3^2 \cdot 3^{2x} = 10[/tex]. Posto [tex]3^x=y[/tex] il tutto si riduce a risolvere un'equazione di 2° grado [tex]9y^2 + 27y - 10=0[/tex]
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