Alcuni limiti e osservazioni
Salve a tutti,
questo limite
$lim_{x \to pi/4} {sinx-cosx}/{sin4x}$ lo risolvo facilmente con De L'Hopital: $lim_{x \to pi/4} {sinx+cosx}/{4cos4x}=-sqrt(2)/4$. Ma ho voluto capire come potessi risolverlo solo coi notevoli, e pur provando con diverse sostituzioni non sono riuscito ad arrivare a nulla di buono, mi dareste un idea?
In un secondo limite, invece, non comprendo dove commetto l'errore, trovandomi sia coi notevoli che con De L'Hopital lo stesso risultato ma con segno opposto.
$lim_{x \to 2} {(10-x)^(1/3)-2}/{x-2}$
Pongo $y=1/(x-2)$ e osservo che per $x$ che tende a $2$, $y$ tende a più infinito, così, dopo alcuni passaggi, riscrivo il limite come
$lim_{x \to infty} (8y^3-y^2)^(1/3) - 2y$
scrivo $2y=(8y^3)^(1/3)$ e razionalizzo ottenendo
$lim_{x \to infty} -y^2/{(8y^3-y^2)^(1/3) + (64y^6 - 8y^5)^(1/3) + (8y^(3^(2)))^(1/3)} = -1/{4+4+4}=-1/12$
Se invece derivo numeratore e denominatore ottengo $lim_{x \to 2} 1/{3((10-x)^2)^(1/3)}=1/12$
Come al solito grazie mille!
questo limite
$lim_{x \to pi/4} {sinx-cosx}/{sin4x}$ lo risolvo facilmente con De L'Hopital: $lim_{x \to pi/4} {sinx+cosx}/{4cos4x}=-sqrt(2)/4$. Ma ho voluto capire come potessi risolverlo solo coi notevoli, e pur provando con diverse sostituzioni non sono riuscito ad arrivare a nulla di buono, mi dareste un idea?
In un secondo limite, invece, non comprendo dove commetto l'errore, trovandomi sia coi notevoli che con De L'Hopital lo stesso risultato ma con segno opposto.
$lim_{x \to 2} {(10-x)^(1/3)-2}/{x-2}$
Pongo $y=1/(x-2)$ e osservo che per $x$ che tende a $2$, $y$ tende a più infinito, così, dopo alcuni passaggi, riscrivo il limite come
$lim_{x \to infty} (8y^3-y^2)^(1/3) - 2y$
scrivo $2y=(8y^3)^(1/3)$ e razionalizzo ottenendo
$lim_{x \to infty} -y^2/{(8y^3-y^2)^(1/3) + (64y^6 - 8y^5)^(1/3) + (8y^(3^(2)))^(1/3)} = -1/{4+4+4}=-1/12$
Se invece derivo numeratore e denominatore ottengo $lim_{x \to 2} 1/{3((10-x)^2)^(1/3)}=1/12$
Come al solito grazie mille!
Risposte
Ciao algibro,
Sì, hai provato con la sostituzione $t := x - \pi/4 \implies x = t + \pi/4 $?
Per il secondo limite proposto penso che tu ti sei complicato la vita più del necessario, avrei semplicemente posto $t := 2 - x $ sicché si ha:
$ \lim_{x \to 2} {(10-x)^(1/3)-2}/{x-2} = - \lim_{x \to 2} {(8 + 2 - x)^(1/3)-2}/{2-x} = - \lim_{t \to 0} {(8 + t)^(1/3)-2}/t = $
$ = - 2 \cdot \lim_{t \to 0} {(1 + t/8)^(1/3) - 1}/t = - 1/4 \cdot \lim_{t \to 0} {(1 + t/8)^(1/3) - 1}/(t/8) = - 1/4 \cdot \1/3 = - 1/12 $
"algibro":
mi dareste un idea?
Sì, hai provato con la sostituzione $t := x - \pi/4 \implies x = t + \pi/4 $?
Per il secondo limite proposto penso che tu ti sei complicato la vita più del necessario, avrei semplicemente posto $t := 2 - x $ sicché si ha:
$ \lim_{x \to 2} {(10-x)^(1/3)-2}/{x-2} = - \lim_{x \to 2} {(8 + 2 - x)^(1/3)-2}/{2-x} = - \lim_{t \to 0} {(8 + t)^(1/3)-2}/t = $
$ = - 2 \cdot \lim_{t \to 0} {(1 + t/8)^(1/3) - 1}/t = - 1/4 \cdot \lim_{t \to 0} {(1 + t/8)^(1/3) - 1}/(t/8) = - 1/4 \cdot \1/3 = - 1/12 $
Questo $ lim_{x \to pi/4} {sinx-cosx}/{sin4x} $ lo vedo bene con lo sviluppo del
$sin4x=2sin 2x cos2x= 2sin2x(cos^2x-sin^2x) =2sin2x(cosx-sinx)(cosx+sinx) $ sostituendo dentro al limite si semplifica la forma indeterminata.
$sin4x=2sin 2x cos2x= 2sin2x(cos^2x-sin^2x) =2sin2x(cosx-sinx)(cosx+sinx) $ sostituendo dentro al limite si semplifica la forma indeterminata.
"pilloeffe":
Sì, hai provato con la sostituzione $t := x - \pi/4 \implies x = t + \pi/4 $?
Grazie. Ahimè, ho provato, ma evidentemente mi sfugge qualche regola trigonometrica...
$\lim_{t \to pi/2} {sin(pi/4 + t) + cos(pi/4 + t)}/sin(4t + pi)=...$
"pilloeffe":
Per il secondo limite proposto penso che tu ti sei complicato la vita più del necessario, avrei semplicemente posto $t := 2 - x $
Giusto! Conservo ancora il dubbio sul segno che mi esce se passo al limite il rapporto delle rispettive derivate.
"@melia":
Questo $ lim_{x \to pi/4} {sinx-cosx}/{sin4x} $ lo vedo bene con lo sviluppo del
$ sin4x=2sin 2x cos2x= 2sin2x(cos^2x-sin^2x) =2sin2x(cosx-sinx)(cosx+sinx) $ sostituendo dentro al limite si semplifica la forma indeterminata.
Grazie mille! In effetti mi ero fissato nel dover lavorare e semplificare per forza sul numeratore.
"algibro":
Ahimè, ho provato, ma evidentemente mi sfugge qualche regola trigonometrica...
Beh, posto $t := x - \pi/4 \implies x = t + \pi/4 $, si ha:
$ \lim_{x \to pi/4} {sinx-cosx}/{sin4x} = \lim_{t \to 0} {sin(t + \pi/4)-cos(t + \pi/4)}/{sin(4t + \pi)} = $
$ = - \lim_{t \to 0} {sin(t) cos(\pi/4) + cos(t) sin(pi/4) - [cos(t) cos(\pi/4) - sin(t) sin(\pi/4)]}/{sin(4t)} = $
$ = - sqrt{2}/2 \cdot \lim_{t \to 0} {sin(t) + cos(t) - cos(t) + sin(t)}/{sin(4t)} = - sqrt{2} \cdot \lim_{t \to 0} {sin(t)}/{sin(4t)} = $
$ = - sqrt{2}/4 \cdot \lim_{t \to 0} {sin(t)}/{t} \cdot {4t}/{sin(4t)} = - sqrt{2}/4 \cdot 1 \cdot 1 = - sqrt{2}/4 $
"algibro":
Conservo ancora il dubbio sul segno che mi esce se passo al limite il rapporto delle rispettive derivate.
Il risultato corretto del limite proposto è $ - 1/12 $, ti sei dimenticato della derivata interna, cioè della derivata di $ 10 - x $ che è proprio $- 1 $, per cui si ha:
$\lim_{x \to 2} {(10-x)^(1/3)-2}/{x-2} \stackrel{H}[=] \lim_{x \to 2} (- 1)/{3((10-x)^2)^(1/3)} = - 1/12 $
Gentilissimo, grazie mille!
Approfitto di questo spazio, senza aprire un'altra discussione, per un quesito "stupido".
Se ho
$ lim_{x \to infty} x(cosx-3)=-infty$
mi viene spontaneo osservare che
$-1<=cosx<=1$
$-4<=cosx-3<=-2$
$-4x<=x(cosx)-3<=-2x$
Ora evidentemente sia $-4x$ che $-2x$ tendono a meno infinito.
Mi chiedo, che significato ha dire che $x(cosx)-3$ tende tra meno infinito e meno infinito?
Se ho
$ lim_{x \to infty} x(cosx-3)=-infty$
mi viene spontaneo osservare che
$-1<=cosx<=1$
$-4<=cosx-3<=-2$
$-4x<=x(cosx)-3<=-2x$
Ora evidentemente sia $-4x$ che $-2x$ tendono a meno infinito.
Mi chiedo, che significato ha dire che $x(cosx)-3$ tende tra meno infinito e meno infinito?
"algibro":
Mi chiedo, che significato ha dire che $x(cosx)−3 $ tende tra meno infinito e meno infinito?
Occhio che qui hai scritto una cosa diversa da quella che hai scritto sopra...
Comunque si ha:
$\lim_{x \to +\infty} x(cosx−3) = -\infty$
Infatti $(cos x - 3)$ è limitata e negativa $\AA x \in \RR $
Cavoli, hai ragione. Non c'ho pensato su troppo prima di scrivere, grazie!
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