Alcuni limiti di successioni
Ho avuto problemi con questi limiti:
1) [tex]\lim_{n\to +\infty}\sqrt{2n+1}-\sqrt{n-2}[/tex]
2) [tex]\lim_{n\to +\infty}\frac{\sqrt{2n+11}-\sqrt{2n+4}}{\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2-n}}[/tex]
3) [tex]\lim_{n\to +\infty}(1+\frac{cosn}{n})(1-cos(1))[/tex]
4) [tex]\lim_{n\to +\infty}\frac{n2^n}{3^n}[/tex]
Per la prima, ho provato a moltiplicare per le espressioni coniugate, cioè:
[tex]\frac{(\sqrt{2n+1}-\sqrt{n-2})(\sqrt{2n+1}+\sqrt{n-2})}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{n-2}}[/tex]
Poi praticamente ho svolto i calcoli e al denominatore messo in evidenza dentro la radice:
[tex]\frac{n(1+\frac{3}{n})}{\sqrt{2n(1+\frac{1}{2n})}+\sqrt{n(1-\frac{2}{n})}}[/tex]
Se è giusto fin qui, non so cosa fare, ho pensato di portar fuori dalle radici [tex]2n[/tex] e [tex]n[/tex] ma non ottengo risultati positivi.
2) Per questa chiedo consiglio su come cominciare, sempre moltiplicare per l'espressione coniugata?
3) Bè questa, sinceramente, non so da dove cominciare, nemmeno fare considerazioni sul coseno.
4) Per questa ho provato ad applicare de L'Hospital, ma ho dei dubbi sulla mia derivata.
[tex]\frac{2^n+(n)(2^nlog2)}{3^nlog3}[/tex]
1) [tex]\lim_{n\to +\infty}\sqrt{2n+1}-\sqrt{n-2}[/tex]
2) [tex]\lim_{n\to +\infty}\frac{\sqrt{2n+11}-\sqrt{2n+4}}{\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2-n}}[/tex]
3) [tex]\lim_{n\to +\infty}(1+\frac{cosn}{n})(1-cos(1))[/tex]
4) [tex]\lim_{n\to +\infty}\frac{n2^n}{3^n}[/tex]
Per la prima, ho provato a moltiplicare per le espressioni coniugate, cioè:
[tex]\frac{(\sqrt{2n+1}-\sqrt{n-2})(\sqrt{2n+1}+\sqrt{n-2})}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{n-2}}[/tex]
Poi praticamente ho svolto i calcoli e al denominatore messo in evidenza dentro la radice:
[tex]\frac{n(1+\frac{3}{n})}{\sqrt{2n(1+\frac{1}{2n})}+\sqrt{n(1-\frac{2}{n})}}[/tex]
Se è giusto fin qui, non so cosa fare, ho pensato di portar fuori dalle radici [tex]2n[/tex] e [tex]n[/tex] ma non ottengo risultati positivi.
2) Per questa chiedo consiglio su come cominciare, sempre moltiplicare per l'espressione coniugata?
3) Bè questa, sinceramente, non so da dove cominciare, nemmeno fare considerazioni sul coseno.
4) Per questa ho provato ad applicare de L'Hospital, ma ho dei dubbi sulla mia derivata.
[tex]\frac{2^n+(n)(2^nlog2)}{3^nlog3}[/tex]
Risposte
Per il 4 posso dirti che la derivata è corretta, quale è il tuo dubbio ? Ma sei sicuro che si possa applicare il teorema ?
Se però conosci il confronto tra infiniti, questo limite è immediato.
Per il 3, non farti spaventare dal coseno, pensaci un attimo perchè è molto facile
Se però conosci il confronto tra infiniti, questo limite è immediato.
Per il 3, non farti spaventare dal coseno, pensaci un attimo perchè è molto facile
Correggetemi se sbaglio:
1)$lim_(n->+oo)sqrt(2n+1)-sqrt(n-2)=lim_(n->+oo)sqrt(n)(sqrt(2+1/n)-sqrt(1-2/n))=+oo$
2)$lim_(n->+oo)(sqrt(2n+11)-sqrt(2n+4))/(sqrt(n^2+2n)-sqrt(n^2-n))=lim_(n->+oo)(sqrt(2n)(sqrt(1+11/n)-sqrt(2+4/n)))/(n(sqrt(1+2/n)-sqrt(1-1/n)))=0$
3)$cosn/n$ tende a zero perché prodotto di una quantità limitata ($cosn$) per una infinitesima ($1/n$), perciò il tutto tende a $1-cos(1)$
4)$lim_(n->+oo)(n2^n)/(3^n)=lim_(n->+oo)n*(2/3)^n=0$per il confronto tra infiniti: $lim_(n->+oo)n^a/b^n=0$. Qui non puoi applicare de l'Hopital perché sono successioni.
1)$lim_(n->+oo)sqrt(2n+1)-sqrt(n-2)=lim_(n->+oo)sqrt(n)(sqrt(2+1/n)-sqrt(1-2/n))=+oo$
2)$lim_(n->+oo)(sqrt(2n+11)-sqrt(2n+4))/(sqrt(n^2+2n)-sqrt(n^2-n))=lim_(n->+oo)(sqrt(2n)(sqrt(1+11/n)-sqrt(2+4/n)))/(n(sqrt(1+2/n)-sqrt(1-1/n)))=0$
3)$cosn/n$ tende a zero perché prodotto di una quantità limitata ($cosn$) per una infinitesima ($1/n$), perciò il tutto tende a $1-cos(1)$
4)$lim_(n->+oo)(n2^n)/(3^n)=lim_(n->+oo)n*(2/3)^n=0$per il confronto tra infiniti: $lim_(n->+oo)n^a/b^n=0$. Qui non puoi applicare de l'Hopital perché sono successioni.
Eheh, emmeffe sono d'accordo con te sulla prima, anche se io ho applicato de hopital.
Il fatto che de hopital sia usabile solo sui limiti di funzioni, non significa che non si possano applicare 'praticamente' sulle successioni, le successioni sono particolari funzioni.
Corregetemi se sbaglio.
Il fatto che de hopital sia usabile solo sui limiti di funzioni, non significa che non si possano applicare 'praticamente' sulle successioni, le successioni sono particolari funzioni.
Corregetemi se sbaglio.
No non sbagli, se si specifica che il limite lo si applica alla successione intesa come f(x) si può fare.
Siete stati gentilissimi entrambi, domani mattina rileggerò tutto, ora è un pò tardi
I risultati dei limiti sono corretti, Però non ho capito cosa fai in quelle con le radici, cosa metti in evidenza o porti fuori.
Besito!
Siete stati gentilissimi entrambi, domani mattina rileggerò tutto, ora è un pò tardi
I risultati dei limiti sono corretti, Però non ho capito cosa fai in quelle con le radici, cosa metti in evidenza o porti fuori.
Besito!
A proposito dei teoremi del marchese, segnalo un mio post (intitolato Contra de l'Hôpital) di qualche tempo fa.
Scusate ma non ho capito, il numero 2:
Intanto come sei arrivato a quello che hai scritto tu emmeffe90, e come fai a concludere che faccia 0.
Non dovrebbe essere:
[tex]\frac{\sqrt{2n}(\sqrt{1+\frac{1}{2n}}-\sqrt{1+\frac{4}{2n}})}{\sqrt{n^2}(\sqrt{1+\frac{2n}{n^2}}-\sqrt{1-\frac{n}{n^2}})}[/tex]
Altrimenti non ho capito cosa hai fatto.
Intanto come sei arrivato a quello che hai scritto tu emmeffe90, e come fai a concludere che faccia 0.
Non dovrebbe essere:
[tex]\frac{\sqrt{2n}(\sqrt{1+\frac{1}{2n}}-\sqrt{1+\frac{4}{2n}})}{\sqrt{n^2}(\sqrt{1+\frac{2n}{n^2}}-\sqrt{1-\frac{n}{n^2}})}[/tex]
Altrimenti non ho capito cosa hai fatto.
"guitarplaying":
Non dovrebbe essere:
[tex]\frac{\sqrt{2n}(\sqrt{1+\frac{1}{2n}}-\sqrt{1+\frac{4}{2n}})}{\sqrt{n^2}(\sqrt{1+\frac{2n}{n^2}}-\sqrt{1-\frac{n}{n^2}})}[/tex]
Vero. Piccolo errore. Chiedo venia
Ripartiamo da qui:$sqrt(2)/sqrt(n)(sqrt(1+11/(2n))-sqrt(1+2/n))/(sqrt(1+2/n)-sqrt(1-1/n))$. Adesso, sia a numeratore sia a denominatore, aggiungiamo e sottraiamo 1, ottenendo ciò:
$sqrt(2)/sqrt(n)(sqrt(1+11/(2n))-1-(sqrt(1+2/n)-1))/(sqrt(1+2/n)-1-(sqrt(1-1/n)-1)$. In questo modo possiamo applicare il limite notevole $lim_(a_n->0)((1+a_n)^alpha-1)/a_n=alpha$.
Facciamo così: $sqrt(2)/sqrt(n)((sqrt(1+11/(2n))-1)/(11/(2n))*11/(2n)-(sqrt(1+2/n)-1)/(2/n)*2/n)*1/((sqrt(1+2/n)-1)/(2/n)*2/n-(sqrt(1-1/n)-1)/(1/n)*1/n)$. Sfruttiamo i limiti notevoli; dovremmo avere $sqrt(2)/sqrt(n)*(11/(4n)-1/n)*1/(1/n-1/(2n))=2/sqrt(n)*7/2$. Facciamo tendere $n->+oo$, e otteniamo zero. Il tutto a meno di errori: se ci sono corregetemi.
Per quanto riguarda de l'Hospital, sarà che dopo tre lezioni sui suoi teoremi ho una certa allergia nei suoi confronti, ma qui non ce lo vedo proprio bene.
Tra l'altro, da quello che so io, i teoremi che portano il suo nome non sono farina del suo sacco: a quanto pare, pagò un altro matematico (mi sembra Bernoulli) per dimostrarli al posto suo e metterci il suo nome per passare alla storia.
Scusa ma non ti seguo adesso hai portato fuori al numeratore solo 2, non dovrebbe essere [tex]\sqrt{2x}[/tex] visto che avevi chiesto venia? voglio dire l'hai voluto mettere tu o ti sei scordato la radice?
Perchè in questo modo a me non risulta che senza mettere [tex]\sqrt{2x}[/tex] il numeratore sia uguale, non cambia mettendo solo 2 per come lo hai scritto scusa?
Poi hai cambiato [tex]\frac{11}{n}[/tex] in [tex]\frac{11}{2}n[/tex] ma così non cambia tutto?
Poi l'idea l'ho capita, ricondurre al limite notevole (non me li ricorderò mai )
Anche se non ho ben chiaro in questo caso quale sia il nostro alfa.
voglio dire l'hai voluto mettere tu o ti sei scordato la radice?Perchè in questo modo a me non risulta che senza mettere [tex]\sqrt{2x}[/tex] il numeratore sia uguale, non cambia mettendo solo 2 per come lo hai scritto scusa?
Poi hai cambiato [tex]\frac{11}{n}[/tex] in [tex]\frac{11}{2}n[/tex] ma così non cambia tutto?
Poi l'idea l'ho capita, ricondurre al limite notevole (non me li ricorderò mai
)Anche se non ho ben chiaro in questo caso quale sia il nostro alfa.
"guitarplaying":
Scusa ma non ti seguo adesso hai portato fuori al numeratore solo 2, non dovrebbe essere [tex]\sqrt{2x}[/tex] visto che avevi chiesto venia?
Abbiamo $sqrt(2n)/sqrt(n^2)=sqrt(2n/n^2)=sqrt(2)/sqrt(n)$ (sì, mi ero dimenticato la radice sul 2, comunque il risultato finale non cambia
)."guitarplaying":
Poi hai cambiato [tex]\frac{11}{n}[/tex] in [tex]\frac{11}{2}n[/tex] ma così non cambia tutto?
Anche qui è un errore di battitura, all'inizio avevamo $sqrt(2n+11)$, abbiamo estratto $2n$ e abbiamo ottenuto $sqrt(1+11/(2n))$. Chiedo scusa per gli errori, ora correggo...
"guitarplaying":
Anche se non ho ben chiaro in questo caso quale sia il nostro alfa.
Consideriamo $sqrt(x)=x^(1/2)$. Perciò il nostro alfa è $1/2$.
Sul 3
1-cos(1)=0?
dal momento che cos(1)=0,99?
o dico una baggianata? xD
Sul 2.
Ho fatto un modo per non fare tutti quei calcoli
lo spiego a parole, perchè scriverlo con i numeri sarebbe un pò lunghetto.
al numeratore ho moltiplicato e diviso per $sqrt(2n+4)$
al denominatore ho moltiplicato e diviso per $sqrt(n^2-n)$
al numeratore e al denominatore viene una cosa del genere: $((a-1)/(b-1))*(sqrt(2n+4))/(sqrt(n^2-n))$
$a$ e $b$ sono radici e io farei dipendere il risultato del limite da $(sqrt(2n+4))/(sqrt(n^2-n)$ che è $0$
ora non so se vada bene o meno, o se il ragionamento è giusto, lo posto per vedere se va bene ecco.
1-cos(1)=0?
dal momento che cos(1)=0,99?
o dico una baggianata? xD
Sul 2.
Ho fatto un modo per non fare tutti quei calcoli
lo spiego a parole, perchè scriverlo con i numeri sarebbe un pò lunghetto.
al numeratore ho moltiplicato e diviso per $sqrt(2n+4)$
al denominatore ho moltiplicato e diviso per $sqrt(n^2-n)$
al numeratore e al denominatore viene una cosa del genere: $((a-1)/(b-1))*(sqrt(2n+4))/(sqrt(n^2-n))$
$a$ e $b$ sono radici e io farei dipendere il risultato del limite da $(sqrt(2n+4))/(sqrt(n^2-n)$ che è $0$
ora non so se vada bene o meno, o se il ragionamento è giusto, lo posto per vedere se va bene ecco.
"clever":
1-cos(1)=0?
dal momento che cos(1)=0,99?
No, non puoi dire che $1-cos(1)=0$. $Cosx=1$ se e solo se $x=(2k)\pi$ , $k in ZZ$ e sicuramente $1$ non è di questo tipo !
Puoi sicuramente dire che $1-cos(1)$ è molto piccolo, ma non uguale a zero !
ma in matematica si può dire 'molto piccolo'?
perchè ad esempio in fisica 'molto piccolo' non significa nulla.
comunque grazie per la spiegazione.
perchè ad esempio in fisica 'molto piccolo' non significa nulla.
comunque grazie per la spiegazione.
"clever":
1-cos(1)=0?
dal momento che cos(1)=0,99?
Beh, possiamo dire che $1-cos(1)$ tende a $0^+$, ma non che 1-cos(1)=0.
"clever":
[...] io farei dipendere il risultato del limite da $(sqrt(2n+4))/(sqrt(n^2-n)$ che è $0$
Potresti spiegare meglio?
il secondo e ultimo passaggio a me viene:
$(((sqrt((2n+11)/(2n+4)))-1)/((sqrt((n^2+2n)/(n^2-n))-1))*sqrt((2n+4)/(n^2-n))$
$sqrt((2n+4)/(n^2-n))$ è $0$
$(((sqrt((2n+11)/(2n+4)))-1)/((sqrt((n^2+2n)/(n^2-n))-1))$ è come se fosse più piccolo di $sqrt((2n+4)/(n^2-n))$
(non so, ecco, se dire cosi a un senso) e dunque faccio dipendere il risultato da $sqrt((2n+4)/(n^2-n))$
$(((sqrt((2n+11)/(2n+4)))-1)/((sqrt((n^2+2n)/(n^2-n))-1))*sqrt((2n+4)/(n^2-n))$
$sqrt((2n+4)/(n^2-n))$ è $0$
$(((sqrt((2n+11)/(2n+4)))-1)/((sqrt((n^2+2n)/(n^2-n))-1))$ è come se fosse più piccolo di $sqrt((2n+4)/(n^2-n))$
(non so, ecco, se dire cosi a un senso) e dunque faccio dipendere il risultato da $sqrt((2n+4)/(n^2-n))$
"clever":
ma in matematica si può dire 'molto piccolo'?
perchè ad esempio in fisica 'molto piccolo' non significa nulla.
comunque grazie per la spiegazione.
Tu stesso hai scritto che $cos1=0.99$. Aggiungiamo ancora qualche cifra: $cos1=0.9998476$. Direi che la differenza tra uno e questo numero è abbastanza piccola, pensando anche al fatto che il coseno oscilla nell'intervallo $[ -1 ; 1 ]$
Poi certo, tutto è relativo: il numero $10$ può essere molto piccolo se confrontato con un miliardo fattoriale ma molto grande se confrontato con un milionesimo.
Allora è tutto a posto, post risolto
Grazie ragazzi, di cuore.
P.S. il terzo limite con il cosn si conclude proprio così, il risultato è quello che hai trovato grazie a quel piccolo accorgimento del teorema del limite di una succesione limitata per una infinitesima, risulta 1-cos(1).
Grazie ragazzi, di cuore.
P.S. il terzo limite con il cosn si conclude proprio così, il risultato è quello che hai trovato grazie a quel piccolo accorgimento del teorema del limite di una succesione limitata per una infinitesima, risulta 1-cos(1).
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