Alcuni limiti
salve ho alcuni limiti da mostarvi...
1) $lim_(x->0)((1+log|x+1|)^(1/sin(3x)))$
2) $lim_(x->0)(ln(2^(x)-x^(2))/((arcsen(x^(2)+x)))$
3)$lim_(x->0)(sin^(4)(x)^(1/2))/(log(1+3x)(arctgx^(2))^(1/2))$
4)$lim_(x->0)((2^(x)-1)(((1+x)^(1/2))-1)lg(x+1)+(e^(x)-1)^(3))/(x-(1-cosx)arctgx)$
5)$lim_(n->+00)(n(2+3/n)^(1/2)-(2-5/n)^(1/2))$
6)$lim_(x->0+)(x^(1/2)-(sinx)^(1/2))/x$
7)$lim_(x->0)((x+2) ^(1/17)-(x-1)^(1/17))$
su questi limiti ho dei dubbi...
sul numero 1) nn so che strada intraprendere..per cosa moltiplicare e dividere per togliere l'indeterminazione...
e la stessa cosa per il numero 2)
per il numero 3)divido e moltiplico per$ (x)^(1/2)^(4)$ per usare il limite notevole $lim_(x->0)(sinx)/x=1$ ma poi mi restano glialtri fattori con ancora la forma di indeterminazione che nn so togliere
per il numero 4) ho provato a dividere e moltiplicare per $log(x+1)$ ma nn ottengo niente...
i numeri5) 6) e 7) nn so che limite notevole usare...
io nn vorrei i limiti svolti.. solanto consigli sulla strada da seguire.. una volta trovata la chiave vado avanti da sola
1) $lim_(x->0)((1+log|x+1|)^(1/sin(3x)))$
2) $lim_(x->0)(ln(2^(x)-x^(2))/((arcsen(x^(2)+x)))$
3)$lim_(x->0)(sin^(4)(x)^(1/2))/(log(1+3x)(arctgx^(2))^(1/2))$
4)$lim_(x->0)((2^(x)-1)(((1+x)^(1/2))-1)lg(x+1)+(e^(x)-1)^(3))/(x-(1-cosx)arctgx)$
5)$lim_(n->+00)(n(2+3/n)^(1/2)-(2-5/n)^(1/2))$
6)$lim_(x->0+)(x^(1/2)-(sinx)^(1/2))/x$
7)$lim_(x->0)((x+2) ^(1/17)-(x-1)^(1/17))$
su questi limiti ho dei dubbi...
sul numero 1) nn so che strada intraprendere..per cosa moltiplicare e dividere per togliere l'indeterminazione...
e la stessa cosa per il numero 2)
per il numero 3)divido e moltiplico per$ (x)^(1/2)^(4)$ per usare il limite notevole $lim_(x->0)(sinx)/x=1$ ma poi mi restano glialtri fattori con ancora la forma di indeterminazione che nn so togliere
per il numero 4) ho provato a dividere e moltiplicare per $log(x+1)$ ma nn ottengo niente...
i numeri5) 6) e 7) nn so che limite notevole usare...
io nn vorrei i limiti svolti.. solanto consigli sulla strada da seguire.. una volta trovata la chiave vado avanti da sola
Risposte
1) Riscrivi il limite nella forma:
$e^((log(1+log|x+1|))/(sin3x))$
A questo punto ricorda i limiti notevoli $lim_(x->0) (sin3x)/(3x)=1$ e $lim_(x->0) log(1+x)/x=1$
2) Premetto che il metodo che uso è da "fisico smanettone" più che da matematico...
Sviluppo $2^x$ in serie di Taylor al II ordine:
$2^x=1+xlog2+(x^2)/2 (log^2)^2+o(x^3)$
Sostituendo al numeratore, si ha $log(1+xlog2+x^2(((log2)^2)/2 -1))$
Per $x$ che va a zero puoi trascurare le potenze più alte, quindi hai $log(1+xlog2)$ che si approssima a $xlog2$
Al denominatore puoi buttare via $x^2$ e approssimare $arcsinx$ con $x$ (Taylor).
$e^((log(1+log|x+1|))/(sin3x))$
A questo punto ricorda i limiti notevoli $lim_(x->0) (sin3x)/(3x)=1$ e $lim_(x->0) log(1+x)/x=1$
2) Premetto che il metodo che uso è da "fisico smanettone" più che da matematico...
Sviluppo $2^x$ in serie di Taylor al II ordine:
$2^x=1+xlog2+(x^2)/2 (log^2)^2+o(x^3)$
Sostituendo al numeratore, si ha $log(1+xlog2+x^2(((log2)^2)/2 -1))$
Per $x$ che va a zero puoi trascurare le potenze più alte, quindi hai $log(1+xlog2)$ che si approssima a $xlog2$
Al denominatore puoi buttare via $x^2$ e approssimare $arcsinx$ con $x$ (Taylor).
ok.. per qesti 2 limiti ci sono.. li ho capiti..
3) Puoi sviluppare tutto in serie di Taylor:
Al numeratore hai $(x^(1/2))^4$ (primo ordine), mentre al denominatore il primo fattore diventa $3x$.
Se non ho sbagliato, lo sviluppo dell'arcotangente al secondo ordine (il primo non nullo) è $x^2$, che va poi sotto il segno di radice...
4)Sviluppa tutto in serie di Taylor: ti ricordo l'approssimazione $(1+x)^(1/2) = 1+x/2+o(x^2)$
5) e 7) Puoi utilizzare l'approssimazione descritta nel punto 4) (eventualmente scegli l'ordine opportuno...)
6)Sviluppa il seno in questo modo:
$(sinx)^(1/2)=(x-(x^3)/6)^(1/2)=x^(1/2)(1-(x^2)/6)^(1/2)$
Utilizzando ancora l'approssimazione precedente puoi scrivere $x^(1/2)(1-(x^2)/12)$
Sostituendo tutto nel limite puoi eliminare l'indeterminazione.
Al numeratore hai $(x^(1/2))^4$ (primo ordine), mentre al denominatore il primo fattore diventa $3x$.
Se non ho sbagliato, lo sviluppo dell'arcotangente al secondo ordine (il primo non nullo) è $x^2$, che va poi sotto il segno di radice...
4)Sviluppa tutto in serie di Taylor: ti ricordo l'approssimazione $(1+x)^(1/2) = 1+x/2+o(x^2)$
5) e 7) Puoi utilizzare l'approssimazione descritta nel punto 4) (eventualmente scegli l'ordine opportuno...)
6)Sviluppa il seno in questo modo:
$(sinx)^(1/2)=(x-(x^3)/6)^(1/2)=x^(1/2)(1-(x^2)/6)^(1/2)$
Utilizzando ancora l'approssimazione precedente puoi scrivere $x^(1/2)(1-(x^2)/12)$
Sostituendo tutto nel limite puoi eliminare l'indeterminazione.
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