Alcuni integrali . . non standard
Propongo i seguenti integrali (dovrebbero risultare in
ordine di difficoltà crescente).
1)integrale (1+2x^2)e^(x^2)dx
2)integrale [1+tg(x)]^2 * e^(2x)dx
3)integrale e^x * [(1-x)/(1+x^2)]^2 dx
4) Dire se la funzione f(x)=[M(x)]^(x^2) è integrabile
in [1,+infinito), dove M(x) è la funzione mantissa
(ad esempio M(7/2)=1/2).
Se qualcuno è interessato a risolvere un integrale MOLTO
più difficile di questi, lo invito a vedere il sito
www.matefilia.it e di cliccare sul problema di aprile 2004
che a distanza di oltre un anno nessuno è riuscito a risolvere!!
ordine di difficoltà crescente).
1)integrale (1+2x^2)e^(x^2)dx
2)integrale [1+tg(x)]^2 * e^(2x)dx
3)integrale e^x * [(1-x)/(1+x^2)]^2 dx
4) Dire se la funzione f(x)=[M(x)]^(x^2) è integrabile
in [1,+infinito), dove M(x) è la funzione mantissa
(ad esempio M(7/2)=1/2).
Se qualcuno è interessato a risolvere un integrale MOLTO
più difficile di questi, lo invito a vedere il sito
www.matefilia.it e di cliccare sul problema di aprile 2004
che a distanza di oltre un anno nessuno è riuscito a risolvere!!
Risposte
Ci ho perso anche io un bel po' di ore di treno su quell'integrale... ma senza cavarne nulla. Il primo che riesce a farlo (sempre sia possibile) merita davvero un encomio.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Carini! Integrale n.2
Paola
Adesso si vede? Dovrei averlo caricato su altervista
Paola
Adesso si vede? Dovrei averlo caricato su altervista
Non si legge niente
Il risultato del primo integrale e'
(4*x^2-16*x+34)*e^(x/2)
(ci si arriva integrando separatamente e^(x/2)
ed il secondo termine 2*(x^2)*e^(x/2), applicando
ripetutamente per quest'ultimo l'integrazione per parti)
Non ho capito se gli altri integrali li avete gia' risolti.
(4*x^2-16*x+34)*e^(x/2)
(ci si arriva integrando separatamente e^(x/2)
ed il secondo termine 2*(x^2)*e^(x/2), applicando
ripetutamente per quest'ultimo l'integrazione per parti)
Non ho capito se gli altri integrali li avete gia' risolti.
nel primo integrale è e elevato a x^2
io conosco la soluzione di tutti e 4 gli integrali,
il mio scopo era solo quello di proporre integrali non
risolvibili con tecniche standard
io conosco la soluzione di tutti e 4 gli integrali,
il mio scopo era solo quello di proporre integrali non
risolvibili con tecniche standard
MMMMMMmmm... ho fatto il primo e il terzo integrale proposto da Piera, se qualcuno non capisce i passaggi è pregato di chiedere senza alcun timore
Integrale 1:
Integrale 3:
A buon rendere e alla prossima.
Paladino
Integrale 1:
Integrale 3:
A buon rendere e alla prossima.
Paladino
Mi sembra tutto giusto, bravo Paladino!!
Vediamo se con un piccolo suggerimento riesci a calcolare anche
gli altri:
nel 2) svolgi il quadrato e spezza l'integrale come somma
di due integrali....
nel 4) (ammetto che è piuttosto difficile) scrivi l'integrale
come sommatoria per n = 1 a +infinito di integrale tra n e (n+1) di
f(x)dx, a questo punto nell'integrale usa la sostituzione
x= t + n , e alla serie risultante applica il criterio
del confronto per le serie numeriche.
Vediamo se con un piccolo suggerimento riesci a calcolare anche
gli altri:
nel 2) svolgi il quadrato e spezza l'integrale come somma
di due integrali....
nel 4) (ammetto che è piuttosto difficile) scrivi l'integrale
come sommatoria per n = 1 a +infinito di integrale tra n e (n+1) di
f(x)dx, a questo punto nell'integrale usa la sostituzione
x= t + n , e alla serie risultante applica il criterio
del confronto per le serie numeriche.
Paladino, che programma hai usato per scrivere gli integrali?
@fireball: ho scritto tutto in latex, ho trovato un forum che ha il supporto latex e ho fatto l'immagine jpg con lo stamp della tastiera. Purtroppo conosco il Latex ma non ho programmi disponibili sul pc, anche perché mi collego con GPRS.
Piera il 2 è facile e pare l'abbia fatto già prime_number anche se non vedo l'immagine
Il 4 è invece lunghissimo, come dimostrazione, bisogna dimostrare parecchi fatterelli. Onestamente credo di aver capito la strada da seguire ma non posseggo gli strumenti tecnici per affrontarla. Mi pare che la tua sia molto più ''tecnica'' e assai meno teorica. Visto che nessuno ancora l'ha postata ti pregherei di farlo...
Piera il 2 è facile e pare l'abbia fatto già prime_number anche se non vedo l'immagine
Il 4 è invece lunghissimo, come dimostrazione, bisogna dimostrare parecchi fatterelli. Onestamente credo di aver capito la strada da seguire ma non posseggo gli strumenti tecnici per affrontarla. Mi pare che la tua sia molto più ''tecnica'' e assai meno teorica. Visto che nessuno ancora l'ha postata ti pregherei di farlo...
Chiedo scusa per la tortura che arrecherò a tutti quelli che leggeranno la soluzione,ma io non sono capace a inserire le immagini come Padalino.
Soluzione del 4) esercizio:
con (a b)INT indico l’integrale di estremi a e b
con SUM il simbolo di sommatoria che va da n = 1 a +infinito
(1 +inf)INT [M(x)]^(x^2)dx = SUM (n n+1)INT [M(x)]^(x^2)dx =
=SUM (0 1)INT [M(t + n)]^[(t+n)^2]dt =
(nell’ultimo passaggio ho effettuato la sostituzione x = t + n)
= SUM (0 1)INT t ^[(t+n)^2]dt <= SUM (0 1)INT t ^(n^2)dt =
= SUM [ [t^(n^2 + 1)]/(n^2 +1) ] tra 0 e 1 =
= SUM 1/(n^2 +1) (*)
Poiché l’integrale di partenza è <= di (*) che è una serie convergente, si può concludere che la funzione è integrabile.
Si può inoltre osservare come la funzione sia integrabile in
[1, +inf) senza essere infinitesima per x che tende a +inf.
Soluzione del 4) esercizio:
con (a b)INT indico l’integrale di estremi a e b
con SUM il simbolo di sommatoria che va da n = 1 a +infinito
(1 +inf)INT [M(x)]^(x^2)dx = SUM (n n+1)INT [M(x)]^(x^2)dx =
=SUM (0 1)INT [M(t + n)]^[(t+n)^2]dt =
(nell’ultimo passaggio ho effettuato la sostituzione x = t + n)
= SUM (0 1)INT t ^[(t+n)^2]dt <= SUM (0 1)INT t ^(n^2)dt =
= SUM [ [t^(n^2 + 1)]/(n^2 +1) ] tra 0 e 1 =
= SUM 1/(n^2 +1) (*)
Poiché l’integrale di partenza è <= di (*) che è una serie convergente, si può concludere che la funzione è integrabile.
Si può inoltre osservare come la funzione sia integrabile in
[1, +inf) senza essere infinitesima per x che tende a +inf.
Ehm sì scusate se la mia imagine non si vede, ma altervista mi dà un sacco di problemi e non capisco il perchè ( essendo io anche un poco spastica in questo genere di cose..! )
Paola
Paola
pero', che modi di risolvere gli integrali! 
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