Alcuni integrali
ciao, avrei bisogno di aiuto per risolvere alcuni integrali...
per sostituzione:
$ int_( )dx/sqrt((1-x^2)^3) $
per parti:
$ int_()ln(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))dx $
razionali:
$ int_()(x^2-10x+10)/(x^3+2x^2+5x)dx $
$ int_()(3x^2-x)/((x+1)^2(x+2))dx $
per sostituzione:
$ int_( )dx/sqrt((1-x^2)^3) $
per parti:
$ int_()ln(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))dx $
razionali:
$ int_()(x^2-10x+10)/(x^3+2x^2+5x)dx $
$ int_()(3x^2-x)/((x+1)^2(x+2))dx $
Risposte
Hai provato ad incominciare almeno? Scrivi cosa hai fatto.
si certo, ho provato a risolverli
nel primo ho applicato la sostituzione:
$ t= sqrt((1-x)/(1+x)) $
quindi $ x= sqrt((1-t^2)/(1+t^2)) $
$ dx= -2t/(1+t^2)^2sqrt((1+t^2)/(1-t^2))dt $
e l'integrale di partenza diventa:
$int_() (-2t/(1+t^2)^2sqrt((1+t^2)/(1-t^2)))/sqrt((1- (1-t^2)/(1+t^2))^3)dt $
il secondo per parti:
$int_()D(x)ln(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))dx$
quindi:
$ xln(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-1/2int_()x/(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))dx $
ma poi non sono riuscito a concludere
nel primo ho applicato la sostituzione:
$ t= sqrt((1-x)/(1+x)) $
quindi $ x= sqrt((1-t^2)/(1+t^2)) $
$ dx= -2t/(1+t^2)^2sqrt((1+t^2)/(1-t^2))dt $
e l'integrale di partenza diventa:
$int_() (-2t/(1+t^2)^2sqrt((1+t^2)/(1-t^2)))/sqrt((1- (1-t^2)/(1+t^2))^3)dt $
il secondo per parti:
$int_()D(x)ln(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))dx$
quindi:
$ xln(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-1/2int_()x/(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))dx $
ma poi non sono riuscito a concludere
Per il primo prova a fare la sostituzione x=sint... (per curiosità, come ti è venuta in mente quella sostituzione lì?);
Per il secondo, assumento i passaggi fatti da te come corretti (non ho verificato ma sembra di sì), prova a moltiplicare nell'integrale sopra e sotto per ciò che hai al denominatore con il segno di mezzo invertito (ovvero $sqrt(x+1) - sqrt(x-1)$) al denominatore ti rimane solo una costante, e sopra spessi l'integrale in due parti che poi dovresti risolvere facilmente per parti.
EDIT: come non detto per la derivata di quel logaritmo; $ln(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))$ è una funzione composta, quando hai fatto la derivata hai moltiplicato per la derivata dell'argomento?
Per gli altri due, mi sembrano i classici razionali, quindi devi applicare il solito algoritmo per scomporli in fratti semplici e integrare le varie parti. Puoi trovare più o meno ovunque su internet e su questo forum fonti al riguardo (come probabilmente su qualunque libro di testo che tratti gli integrali).
Per il secondo, assumento i passaggi fatti da te come corretti (non ho verificato ma sembra di sì), prova a moltiplicare nell'integrale sopra e sotto per ciò che hai al denominatore con il segno di mezzo invertito (ovvero $sqrt(x+1) - sqrt(x-1)$) al denominatore ti rimane solo una costante, e sopra spessi l'integrale in due parti che poi dovresti risolvere facilmente per parti.
EDIT: come non detto per la derivata di quel logaritmo; $ln(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))$ è una funzione composta, quando hai fatto la derivata hai moltiplicato per la derivata dell'argomento?
Per gli altri due, mi sembrano i classici razionali, quindi devi applicare il solito algoritmo per scomporli in fratti semplici e integrare le varie parti. Puoi trovare più o meno ovunque su internet e su questo forum fonti al riguardo (come probabilmente su qualunque libro di testo che tratti gli integrali).
la sostituzione è una delle sostituzioni standard....
il risultato scritto nel libro è : $ x/sqrt(1-x^2)+c $ ma non riesco ad arrivarci....eseguendo la sostituzione t=senx ottengo $ int_()dt/(cost)^2 $
il risultato scritto nel libro è : $ x/sqrt(1-x^2)+c $ ma non riesco ad arrivarci....eseguendo la sostituzione t=senx ottengo $ int_()dt/(cost)^2 $
Per quanto riguarda il primo integrale, in particolare la prima sostituzione, non mi trovo con i passaggi, te li posto di seguito:
$t=(sqrt((1-x)/(1+x)))$ (tutto sotto radice, e ancora non capisco perchè non si vede bene), comunque
$t^2=(1-x)/(1+x) => x= (1-t^2)/(1+t^2) => dx=(-2t(1+t^2)-(1-t^2)2t)/(1+t^2)^2dt = -(4t)/(1+t^2)^2dt$
ora facendo un pò di calcoli con questa sostituzione (non li posto perchè sono lunghissimi, comunque prova anche tu), mi trovo:
$-1/2int (1+t^2)/t^2dt$
controlla anche tu i calcoli, in modo da poterci confrontare su quest'ultimo passaggio; nel caso più tardi li posto tutti.
$t=(sqrt((1-x)/(1+x)))$ (tutto sotto radice, e ancora non capisco perchè non si vede bene), comunque
$t^2=(1-x)/(1+x) => x= (1-t^2)/(1+t^2) => dx=(-2t(1+t^2)-(1-t^2)2t)/(1+t^2)^2dt = -(4t)/(1+t^2)^2dt$
ora facendo un pò di calcoli con questa sostituzione (non li posto perchè sono lunghissimi, comunque prova anche tu), mi trovo:
$-1/2int (1+t^2)/t^2dt$
controlla anche tu i calcoli, in modo da poterci confrontare su quest'ultimo passaggio; nel caso più tardi li posto tutti.
"seba89sc":
la sostituzione è una delle sostituzioni standard....
il risultato scritto nel libro è : $ x/sqrt(1-x^2)+c $ ma non riesco ad arrivarci....eseguendo la sostituzione t=senx ottengo $ int_()dt/(cost)^2 $
$x=sin(t)$ quindi $tg(t) = tg(arcsinx) = sin(arcsinx)/cos(arcsinx) = x/sqrt(1 - (sin(arcsinx))^2) = x/sqrt(1-x^2)$
A me sembra una soluzione più semplice di tutti quei brutti calcoli =P.
Comunque avevo interpretato male la tua sostituzione, non avevo capito che era tutto tra parentesi nella radice, per questa mi sembrava una sostituzione strana!
si, ora ho capito grazie... :D
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