Alcuni esercizi sulle serie.

[Kashaman]

$ lim n^\alpha n^5/2^n $Salve ragazzi ho la seguente serie numerica :
(1) $\sum_n (x^n * n ^5)/2^n$ , mi si chiede di discuterne il carattere al variare di $x \in RR$.

Prima di tutto notiamo che il segno della serie dipende da $x$ , dunque quel che mi conviene fare dapprima è studiarmi l'assoluta convergenza.
Considero $ sum_ n | ( x^n * n ^5)/2^n|$ (2)
Su (2) utilizzo il Criterio della radice, considero dunque
$\root(n)(( x^n * n ^5)/2^n) = |x| \root(n)(n^5)/2 -> |x|/2$.
Si distinguono i seguenti casi.
1) Se $|x|/2 <1 <=> -2 2) se $|x|/2 > 1 <=> x<-2 ^^ x>2$ la serie (2) diverge , quindi (1) diverge assolutamente.
Nulla possiamo dire circa la convergenza / divergenza di (1).
Però , se $x>2$ (1) e (2) sono la stessa serie e poiché (2) diverge si ha che anche (1) diverge.
Se $x < -2$ ho pensato di riscrivere (1) al seguente modo, cioè
$(1) = \sum _ n (-1)^n |x|^n n^5/2^n$.
Noto poi che , sia la serie estratta sui pari che la serie estratta sui dispari converge (utilizzando nuovamente il criterio della radice), pertanto (1) converge.
Mi resta da considerare il caso in cui $ x \in { -2 ,2}$.
Se $x=2$ (1) $ \sum_n 2 n^5/2^n$ , la serie è a termini positivi.
Utilizzo il criterio degli infinitesimi, considero dunque $lim n^\alpha n^5/2^n = l$ , se $\alpha > 1 => l=0$ , pertanto ho la convergenza.
Infine notando che per $x=-2$ , la serie (1) non è nient'altro che la serie $ \sum_n 2 n^5/2^n$ , deduco che anche in questo caso la serie converge.
In definitiva :
(1) converge $AA x \in ]-\infty,2]$ , diverge per $x \in ]2,+\infty[$.

Tutto corretto? Grazie mille ragazzi !

[gugo82]

"Kashaman":Salve ragazzi ho la seguente serie numerica :
(1) $\sum_n (x^n * n ^5)/2^n$ , mi si chiede di discuterne il carattere al variare di $x \in RR$.

Prima di tutto notiamo che il segno della serie dipende da $x$ , dunque quel che mi conviene fare dapprima è studiarmi l'assoluta convergenza.
Considero $ sum_ n | ( x^n * n ^5)/2^n|$ (2)
Su (2) utilizzo il Criterio della radice, considero dunque
$\root(n)(( x^n * n ^5)/2^n) = |x| \root(n)(n^5)/2 -> |x|/2$.
Si distinguono i seguenti casi.
1) Se $|x|/2 <1 <=> -2 2) se $|x|/2 > 1 <=> x<-2 ^^ x>2$ la serie (2) diverge , quindi (1) diverge assolutamente.
Nulla possiamo dire circa la convergenza / divergenza di (1).
Però , se $x>2$ (1) e (2) sono la stessa serie e poiché (2) diverge si ha che anche (1) diverge.

Fin qui, tutto bene.

"Kashaman":Se $x < -2$ ho pensato di riscrivere (1) al seguente modo, cioè
$(1) = \sum _ n (-1)^n |x|^n n^5/2^n$.
Noto poi che , sia la serie estratta sui pari che la serie estratta sui dispari converge (utilizzando nuovamente il criterio della radice), pertanto (1) converge.

Orrore e raccapriccio!...
Guarda bene: è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza?

"Kashaman":Mi resta da considerare il caso in cui $ x \in { -2 ,2}$.
Se $x=2$ (1) $ \sum_n 2 n^5/2^n$ , la serie è a termini positivi.
Utilizzo il criterio degli infinitesimi, considero dunque $lim n^\alpha n^5/2^n = l$ , se $\alpha > 1 => l=0$ , pertanto ho la convergenza.
Infine notando che per $x=-2$ , la serie (1) non è nient'altro che la serie $ \sum_n 2 n^5/2^n$ , deduco che anche in questo caso la serie converge.

Orrorre e raccapriccio!...
Guarda che per \(x=2\) è \(x^n=2^n\), dunque...

[Kashaman]

Se $x < -2$ ho pensato di riscrivere (1) al seguente modo, cioè
$(1) = \sum _ n (-1)^n |x|^n n^5/2^n$.
Noto poi che , sia la serie estratta sui pari che la serie estratta sui dispari converge (utilizzando nuovamente il criterio della radice), pertanto (1) converge.

Orrore e raccapriccio!...
Guarda bene: è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza?

Non direi proprio, la successione di supporto è irregolare. Ne deduco quindi che non converge. Posso dir qualcosa circa la divergenza o la irregolarità della serie in questi punti?

"Kashaman":Mi resta da considerare il caso in cui $ x \in { -2 ,2}$.
Se $x=2$ (1) $ \sum_n 2 n^5/2^n$ , la serie è a termini positivi.
Utilizzo il criterio degli infinitesimi, considero dunque $lim n^\alpha n^5/2^n = l$ , se $\alpha > 1 => l=0$ , pertanto ho la convergenza.
Infine notando che per $x=-2$ , la serie (1) non è nient'altro che la serie $ \sum_n 2 n^5/2^n$ , deduco che anche in questo caso la serie converge.

Orrorre e raccapriccio!...
Guarda che per \(x=2\) è \(x^n=2^n\), dunque...

Che sciocco! la serie diverge positivamente per $x=2$.
Per $x=-2% , direi che non converge come il caso di sopra per gli stessi motivi, giusto?