Alcuni dubbi sulle serie telescopiche
Mi rendo conto che dal solo studio teorico non abbia ben capito come trattare lo studio di serie telescopiche. Il problema è che ho notato esserci diverse definizioni e non capisco a quale devo ricondurmi:
1-
Ad esempio:
$\sum_(n=1)^(+oo) (a_n-a_(n+k))$ (1), alcune volte leggo $\sum_(n=1)^(+oo) (a_n-a_(n+1))$ (2). Ma se trovo una serie di tipo 1 come la riconduco al tipo 2? Non mi pare possibile. Dunque se per la definizione di tipo 2 alcune serie non sono telescopiche ma per la 1 sì, quindi per la 1 posso applicare le tecniche delle telescopiche (cioè costruire la succ. delle rideotte) e per altre def. 2 no, quindi che definizioni sono mai queste?
E questo è un primo dubbio.
2-
Passando ad esercizi mi trovavo a studiare:
$\sum_(n>=1) log(1+1/n)$ che ho ricondotto facilmente a $\sum_(n>=1) log(n+1)-log(n)$ ma a questo punto cosa devo fare? Devo costruirmi la successione delle somme parziali per induzione e farla tendere ad infinito?
3-
Altro esempio:
$\sum_(n>=1) 1/\sqrtn-1/\sqrt(n+1)$ mi è venuto facile studiarla con confronto asintotico. Ma se volessi usare la tecnica della telescopica come faccio a costruire $S_n$ (parziali) non ho proprio capito.
Spero abbiate voglia di spiegarmi i tre punti
Vi ringrazio moltissimo
1-
Ad esempio:
$\sum_(n=1)^(+oo) (a_n-a_(n+k))$ (1), alcune volte leggo $\sum_(n=1)^(+oo) (a_n-a_(n+1))$ (2). Ma se trovo una serie di tipo 1 come la riconduco al tipo 2? Non mi pare possibile. Dunque se per la definizione di tipo 2 alcune serie non sono telescopiche ma per la 1 sì, quindi per la 1 posso applicare le tecniche delle telescopiche (cioè costruire la succ. delle rideotte) e per altre def. 2 no, quindi che definizioni sono mai queste?
E questo è un primo dubbio.
2-
Passando ad esercizi mi trovavo a studiare:
$\sum_(n>=1) log(1+1/n)$ che ho ricondotto facilmente a $\sum_(n>=1) log(n+1)-log(n)$ ma a questo punto cosa devo fare? Devo costruirmi la successione delle somme parziali per induzione e farla tendere ad infinito?
3-
Altro esempio:
$\sum_(n>=1) 1/\sqrtn-1/\sqrt(n+1)$ mi è venuto facile studiarla con confronto asintotico. Ma se volessi usare la tecnica della telescopica come faccio a costruire $S_n$ (parziali) non ho proprio capito.
Spero abbiate voglia di spiegarmi i tre punti
Vi ringrazio moltissimo
Risposte
Per il dubbio 1:
Con serie di questo tipo bisogna semplicemente notare quali termini si annullano regolarmente man mano che si procede con la serie.
A quel punto se sei in grado di costruire la successione delle ridotte di cui è calcolabile il limite hai finito.
Ricondurti alla serie telescopica significa "per la costruzione della successione delle ridotte imita ciò che si fa per la telescopica", se consideriamo come telescopica quella che hai scritto con $k=1$.
In ogni caso non mi fisserei troppo sui "nomi" delle serie.
Con serie di questo tipo bisogna semplicemente notare quali termini si annullano regolarmente man mano che si procede con la serie.
A quel punto se sei in grado di costruire la successione delle ridotte di cui è calcolabile il limite hai finito.
Ricondurti alla serie telescopica significa "per la costruzione della successione delle ridotte imita ciò che si fa per la telescopica", se consideriamo come telescopica quella che hai scritto con $k=1$.
In ogni caso non mi fisserei troppo sui "nomi" delle serie.
Grazie per la risposta, ma se considero come telescopica quella che ha k=3, in teoria per quella definizione è telescopica, per l'altra k=1 no. Quindi per una definizione sarebbe inutile costruire le parziali e per l'altra no, essendo una telescopica. Non so se ho spiegato il dubbio
Non ne farei un problema. Non è tanto importante dire a quale particolare serie si riferisce il nome, quanto prenderne una come riferimento (per esempio $k=1$) e per quelle simili imitarla nella costruzione della successione delle ridotte.
Insomma tutte queste serie telescopiche sono "accomunate" da una analoga costruzione della successione delle ridotte.
Insomma tutte queste serie telescopiche sono "accomunate" da una analoga costruzione della successione delle ridotte.
Sì forse è la poca dimestichezza (per ora solo teoria) che mi fa parlare.
Dunque per i due esempi riportati (2,3) è giusto dedurne la ridotta, la provo con l'induzione e ne faccio il limite a infinito?
Cioè, si fa così?
Dunque per i due esempi riportati (2,3) è giusto dedurne la ridotta, la provo con l'induzione e ne faccio il limite a infinito?
Cioè, si fa così?
Non so cosa tu intenda per induzione ma in questi casi puoi calcolare la somma della serie, e per farlo dovrai calcolare il limite della successione delle ridotte. Per costruirla bisogna solo "osservare" i termini della serie
Ciao harpef(di nuovo)!
si è proprio questo che caratterizza le serie telescopiche: hanno una somma particolare.
Ti viene in mente qualcosa su cui provare l'induzione?
Un consiglio: parti con $k=1$, poi magari prova $k=2$ e una volta 'capito' il meccanismo la generalizzazione si presenterà più semplice concettualmente parlando.
"harperf":
la provo con l'induzione e ne faccio il limite a infinito?
si è proprio questo che caratterizza le serie telescopiche: hanno una somma particolare.
Ti viene in mente qualcosa su cui provare l'induzione?
Un consiglio: parti con $k=1$, poi magari prova $k=2$ e una volta 'capito' il meccanismo la generalizzazione si presenterà più semplice concettualmente parlando.
ciao @anto 
peril primo ho pensato così seguendo il tuo consiglio e sviluppando:
$\sum_(n>=1) log(n+1)-log(n)$
si ha
$log2+log3-log2+log+....+log(n+1)$ mi induce a pensare che possa provare con induzione $\sum_(n=1)^N log(n+1)-log(n)=(log(N+1))$
base dell'induzione: $\sum_(n=1)^1 log(n+1)-log(n)$ ha per risultato 2
che coincide con: $log(n+1),n=1 ->2$
Verificata!
Passo induttivo: supposta vera $log(n+1)$ dimostro vera l'implicazione $log(n)=>log(n+1)$
essendo:
$\sum_(n>=1) log(n+1)-log(n)$ fino al termine (n+1)-esimo per definizione:
$\sum_(n=1)^(N+1) log2+log3-log2+....+log(N+2)-log(N+1)$ ed esclusi $log(N+2)-log(N+1)$ per definizione i restanti
coincidono con $\sum_(n=1)^N log(n+1)-log(n)$ allora applicando l'ipotesi induttiva avrei:
$log(N+1)+log(N+2)-log(N+1)=log(N+2)$** fine!
Altresì avrei potuto usare la forma ancora più iniziale,ma sarebbe cambiato poco e avrei avuto anziché ** la seguente:
$log(N+1)+(log((N+2)/(N+1)))$ ed applicando la prop. dei logaritmi si perviene allo stesso risultato.
Spero sia giusto.
Penso la seconda sia simile.
peril primo ho pensato così seguendo il tuo consiglio e sviluppando:
$\sum_(n>=1) log(n+1)-log(n)$
si ha
$log2+log3-log2+log+....+log(n+1)$ mi induce a pensare che possa provare con induzione $\sum_(n=1)^N log(n+1)-log(n)=(log(N+1))$
base dell'induzione: $\sum_(n=1)^1 log(n+1)-log(n)$ ha per risultato 2
che coincide con: $log(n+1),n=1 ->2$
Verificata!
Passo induttivo: supposta vera $log(n+1)$ dimostro vera l'implicazione $log(n)=>log(n+1)$
essendo:
$\sum_(n>=1) log(n+1)-log(n)$ fino al termine (n+1)-esimo per definizione:
$\sum_(n=1)^(N+1) log2+log3-log2+....+log(N+2)-log(N+1)$ ed esclusi $log(N+2)-log(N+1)$ per definizione i restanti
coincidono con $\sum_(n=1)^N log(n+1)-log(n)$ allora applicando l'ipotesi induttiva avrei:
$log(N+1)+log(N+2)-log(N+1)=log(N+2)$** fine!
Altresì avrei potuto usare la forma ancora più iniziale,ma sarebbe cambiato poco e avrei avuto anziché ** la seguente:
$log(N+1)+(log((N+2)/(N+1)))$ ed applicando la prop. dei logaritmi si perviene allo stesso risultato.
Spero sia giusto.
Penso la seconda sia simile.
Per quanto riguarda il dubbio 1 e similari, ne avevo parlato qui.
P.S.: Scusate, mi dite qual è il libro che riporta la definizione con $n+k$ al posto di $n+1$?
Non l'ho mai incontrato prima.
P.S.: Scusate, mi dite qual è il libro che riporta la definizione con $n+k$ al posto di $n+1$?
Non l'ho mai incontrato prima.
[EDIT]
@anto: quando hai tempo puoi darci un occhio al post dell'induzione? Odio non capire
Mi faresti un gran favore!
@gugo: nel mio caso è la dispensa di unipv, credo ing.meccanica. Ma non è la mia facoltà né ateneo.
@anto: quando hai tempo puoi darci un occhio al post dell'induzione? Odio non capire
Mi faresti un gran favore!@gugo: nel mio caso è la dispensa di unipv, credo ing.meccanica. Ma non è la mia facoltà né ateneo.
Ciao harperf,
Le somme telescopiche sono del tipo $ \sum_{k=1}^{n} a_k $ ove si possa scrivere $a_k = b_k - b_{k+1}$ e di conseguenza si ha:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_2 + b_2 - b_3 + b_3 - \dots - b_n + b_n - b_{n+1} = b_1 - b_{n+1}
\label{def:sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} b_k - b_{k+1}=b_1-b_{n+1}}
\end{equation*}
Veniamo a quanto proposto.
2) $\log 2 + \log(\frac{3}{2}) + \log(frac{4}{3}) + ... + \log(1 + \frac{1}{n}) = \sum_{k=1}^{n} \log(1 + \frac{1}{k})$
Rielaborando l'argomento della somma e ricordando le proprietà dei logaritmi, si ha:
\begin{equation*}
\log \bigg(1 + \dfrac{1}{k}\bigg) = \log \bigg(\dfrac{k+1}{k}\bigg) = \log(k+1) - \log k = -[\log k - \log(k+1)]
\end{equation*}
Dunque si tratta proprio di una somma telescopica con $b_k = \logk $ e pertanto, in accordo con la definizione di cui sopra e tenendo conto del segno $-$, la somma è $-[b_1 - b_{n+1}] = -[0 - \log(n+1)] = \log(n+1)$.
In definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{
\begin{split}
\log 2 + \log \bigg(\dfrac{3}{2}\bigg) + \log \bigg(\dfrac{4}{3}\bigg) + \dots + \log \bigg(1 + \dfrac{1}{n}\bigg) & = \sum_{k=1}^{n} \log \bigg(1 + \dfrac{1}{k}\bigg) =\\
& = \sum_{k=1}^{n} \log \bigg(\dfrac{k+1}{k}\bigg) =\\
& = \log{(n+1)}
\end{split}}
\end{equation*}
Si vede subito che la serie telescopica corrispondente è divergente, infatti si ha:
$\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} \log (1 + \frac{1}{k}) = \sum_{k=1}^{+\infty} \log (1 + \frac{1}{k}) = \lim_{n \to +\infty} \log(n+1) = +\infty $
3) $ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}} + ... + \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k^2+k}}$
Rielaborando l'argomento della somma si ha:
\begin{equation*}
\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k^2+k}} = \dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k(k+1)}} = \dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{k}} - \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}
\label{ex:(sqrt{k+1}-sqrt{k})/(sqrt{k^2+k})}
\end{equation*}
Dunque si tratta proprio di una somma telescopica con $b_k = \frac{1}{\sqrt{k}}$ e pertanto, in accordo con la definizione di cui sopra, la somma è $b_1 - b_{n+1} = 1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$.
In definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{
\begin{split}
\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}} + \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}} + \dots + \dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}} & = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k^2+k}} =\\
& = \sum_{k=1}^{n} \bigg(\dfrac{1}{\sqrt{k}} - \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\bigg) =\\
& = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}
\end{split}}
\end{equation*}
In questo caso la serie telescopica corrispondente è convergente e se ne può facilmente calcolare la somma, infatti si ha:
$\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}}) = \sum_{k=1}^{+\infty} (\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}}) = \lim_{n \to +\infty} (1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}) = 1 $
Le somme telescopiche sono del tipo $ \sum_{k=1}^{n} a_k $ ove si possa scrivere $a_k = b_k - b_{k+1}$ e di conseguenza si ha:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_2 + b_2 - b_3 + b_3 - \dots - b_n + b_n - b_{n+1} = b_1 - b_{n+1}
\label{def:sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} b_k - b_{k+1}=b_1-b_{n+1}}
\end{equation*}
Veniamo a quanto proposto.
2) $\log 2 + \log(\frac{3}{2}) + \log(frac{4}{3}) + ... + \log(1 + \frac{1}{n}) = \sum_{k=1}^{n} \log(1 + \frac{1}{k})$
Rielaborando l'argomento della somma e ricordando le proprietà dei logaritmi, si ha:
\begin{equation*}
\log \bigg(1 + \dfrac{1}{k}\bigg) = \log \bigg(\dfrac{k+1}{k}\bigg) = \log(k+1) - \log k = -[\log k - \log(k+1)]
\end{equation*}
Dunque si tratta proprio di una somma telescopica con $b_k = \logk $ e pertanto, in accordo con la definizione di cui sopra e tenendo conto del segno $-$, la somma è $-[b_1 - b_{n+1}] = -[0 - \log(n+1)] = \log(n+1)$.
In definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{
\begin{split}
\log 2 + \log \bigg(\dfrac{3}{2}\bigg) + \log \bigg(\dfrac{4}{3}\bigg) + \dots + \log \bigg(1 + \dfrac{1}{n}\bigg) & = \sum_{k=1}^{n} \log \bigg(1 + \dfrac{1}{k}\bigg) =\\
& = \sum_{k=1}^{n} \log \bigg(\dfrac{k+1}{k}\bigg) =\\
& = \log{(n+1)}
\end{split}}
\end{equation*}
Si vede subito che la serie telescopica corrispondente è divergente, infatti si ha:
$\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} \log (1 + \frac{1}{k}) = \sum_{k=1}^{+\infty} \log (1 + \frac{1}{k}) = \lim_{n \to +\infty} \log(n+1) = +\infty $
3) $ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}} + ... + \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k^2+k}}$
Rielaborando l'argomento della somma si ha:
\begin{equation*}
\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k^2+k}} = \dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k(k+1)}} = \dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{k}} - \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}
\label{ex:(sqrt{k+1}-sqrt{k})/(sqrt{k^2+k})}
\end{equation*}
Dunque si tratta proprio di una somma telescopica con $b_k = \frac{1}{\sqrt{k}}$ e pertanto, in accordo con la definizione di cui sopra, la somma è $b_1 - b_{n+1} = 1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$.
In definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{
\begin{split}
\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}} + \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}} + \dots + \dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}} & = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k^2+k}} =\\
& = \sum_{k=1}^{n} \bigg(\dfrac{1}{\sqrt{k}} - \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\bigg) =\\
& = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}
\end{split}}
\end{equation*}
In questo caso la serie telescopica corrispondente è convergente e se ne può facilmente calcolare la somma, infatti si ha:
$\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}}) = \sum_{k=1}^{+\infty} (\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}}) = \lim_{n \to +\infty} (1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}) = 1 $
@harpef
[ot]scusa se non ti ho risposto, oggi ho avuto una giornata pesante e sono tornato ora. piloeffe ha scritto tutto quello che c'era da scrivere, quindi aggiungo solo una cosa[/ot]
aggiungo: dimostra per induzione che $sum_(k=0)^(n)(a_(k+1)-a_k)=a_(n+1)-a_0$
[ot]scusa se non ti ho risposto, oggi ho avuto una giornata pesante e sono tornato ora. piloeffe ha scritto tutto quello che c'era da scrivere, quindi aggiungo solo una cosa[/ot]
aggiungo: dimostra per induzione che $sum_(k=0)^(n)(a_(k+1)-a_k)=a_(n+1)-a_0$
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