Alcuni dubbi sui teoremi dei limiti di successioni.

[jellybean22]

Buona sera a tutti, avrei alcune domande sulle dimostrazioni: Siano ${a_n},{b_n}$ due successioni convergenti e siano rispettivamente a e b i limiti delle due successioni; Allora possiamo definire la successione prodotto tale che $lim(a_n*b_n)=a*b $.La successione Quoziente con $lim(a_n)/(b_n)=a/b$ con $limb_n=b!=0$. In entrambi i casi non capisco perché bisogna dimostrare che esiste un c fissato tale che $|a_n*b_n-ab|N dove N è il più grande tra N' ed N'' (dove N' vale per $a_n$ e N'' vale per $b_n$); perché proprio un c fissato che moltiplica $epsilon$ e non solo $epsilon$??. Se anziché prendere il più grande tra gli N prendessi il più piccolo cosa succederebbe??

Grazie a tutti

[PZf]

"Francesco.93":perché proprio un c fissato che moltiplica $epsilon$ e non solo $epsilon$??. Se anziché prendere il più grande tra gli N prendessi il più piccolo cosa succederebbe??

$\varepsilon$ è arbitrario quindi $c\varepsilon$, se $c$ è fissato, è arbitrario tanto quanto $\varepsilon$ da solo. Non c'è alcuna differenza nello scrivere $c\varepsilon$ oppure $\varepsilon$.

Se scegliessi $N=\text{min}{N',N''}$ cosa succederebbe quando $n$ è un numero compreso fra $N'$ e $N''$ ? Ragiona un po' e noterai che gli argomenti presenti nella dimostrazione non funzionerebbero.

[jellybean22]

Per ora sembra che abbia capito , se non mi vengono altri dubbi... Ultima cosa: Nella dimostrazione del limite del quoziente di due successioni arrivo al punto in cui $|a_n/b_n-a/b|<(|a|+|b|)/|b|*(1/b_n)*epsilon$. Perchè qui non posso sfruttare il fatto che la successione sia convergente e quindi limitata e sostituirvi M, dato che $|b_n|<=M$? Perché nel limite del prodotto ho potuto farlo? Ed infine Perché devo trovare un numero d tale che $1/|b_n|
Grazie dell'aiuto.

[PZf]

Da $|b_n|<=M$ deduci che $1/(|b_n|)>=1/M$ e questo non ti aiuta a concludere la dimostrazione.
Se invece dimostri che definitivamente vale $1/(|b_n|)

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[jellybean22]

Ci ragiono un attimo e ti faccio sapere. Grazie delle risposte

[jellybean22]

Dal fatto che $|b_n-b|

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[PZf]

Da dove ti esce $|b_n-b|<=|b_n|-|b|$ ?
In ogni caso, anche se fosse vero non ti permetterebbe di dedurre $|b_n|-|b|<\varepsilon$.

[Obidream]

"Francesco.93":Siano ${a_n},{b_n}$ due successioni convergenti e siano rispettivamente a e b i limiti delle due successioni; Allora possiamo definire la successione prodotto tale che $lim(a_n*b_n)=a*b $.La successione Quoziente con $lim(a_n)/(b_n)=a/b$ con $limb_n=b!=0$. In entrambi i casi non capisco perché bisogna dimostrare che esiste un c fissato tale che $|a_n*b_n-ab|N dove N è il più grande tra N' ed N'' (dove N' vale per $a_n$ e N'' vale per $b_n$); perché proprio un c fissato che moltiplica $epsilon$ e non solo $epsilon$??. Se anziché prendere il più grande tra gli N prendessi il più piccolo cosa succederebbe??

Grazie a tutti

Per quanto riguarda il caso del prodotto credo tu possa( prendi tutto con le pinze) procedere in questo modo:

$lim_(n->+oo) a_n=l in RR$

$lim_(n->+oo) b_n=m in RR$

Esplicitando con la definizione di limite:

$AA \epsilon>0 EE n_0 in NN : AA n>=n_0 => |a_n-l|<\epsilon$

$AA \epsilon>0 EE n_1 in NN : AA n>=n_1 => |a_n-m|<\epsilon$

Considerando il prodotto di $a_n$ e $b_n$, $lim_(n->oo) a_n*b_n$ ed usando la definizione di limite:

$AA \epsilon>0 EE n_2 in NN : AA n>=n_2 => |a_n*b_n-l*m|<\epsilon$

Adesso usando la disuguaglianza triangolare $|b_n*b_n-l*m|$ si dovrebbe riuscire a provare che questa quantità è minore di un certo $\epsilon$... come hai già detto tu se scegli $n_2=min{n_0,n_1}$ la dimostrazione è conclusa..

[jellybean22]

Allora non so proprio come capire il perché, dalla dimostrazione sul quaderno, posto $epsilon=|b|/2$ si arriva a dedurre che $b_n>|b|/2$. Perché?

Grazie a tutti...

[PZf]

I $b_n$ sono arbitrariamente vicini a $b$ al crescere di $n$. E' questo il significato della definizione.
Scelto arbitrariamente $\varepsilon$ esiste un numero $N$ tale che per $n>N$ il generico termine $b_n$ dista da $b$ meno di $\varepsilon$, cioè $|b_n-b|<\varepsilon$. In altre parole $-\varepsilon0$ (e anche $b_n>0$ per $n$ sufficientemente grande) la parte sinistra della disuguaglianza diventa $b/2(|b|)/2$. Se infine $b=0$ allora non importa quanto valga $b_n$, varrà sicuramente $|b_n|>=(|b|)/2$, quindi vale sempre $|b_n|>=(|b|)/2$. Se supponi anche $b\ne 0$ puoi scrivere $|b_n|>(|b|)/2$.

@ Obidream: al posto di $\text{min}$ dovresti scrivere $\text{max}$.