Alcuni dubbi su equazione differenziale

[vastità]

Buona domenica a voi,

cerco un aiuto riguardo una eq.differenziale che non capisco.

Il professore scrive per il pendolo, come soluzione: $x(t,x_0,x'_0)=Acos(\omegat)+Bsin(\omegat)$

per poi porre t=0 e dire $x(0,x_0,x'_0)=A$

ed è facile apportando la sostituzione detta.
(Per B si procede in ugual modo derivando e sostituendo 0....)

Non capisco poi però perché dica: $x(0,x_0,x'_0)=A=x_0$

la mia domanda è,perché non: $x(0,x_0,x'_0)=A=x'_0$?

Mi sembra una scelta arbitraria, nessuno dice debba essere x0, no?

Grazie

[gugo82]

Di solito la notazione $x(t; x_0, x_0^\prime)$ è usata per denotare la soluzione massimale di un P.d.C. con condizioni iniziali $\{(x(0) = x_0), (x^\prime (0) = x_0^\prime):}$.

[vastità]

Però mi sfugge perché dica:

$A=x_0$ mi sembra potrebbe anche essere: $A=x'_0$ e asua volta B invertito.

[gugo82]

Sostituzione.

Infatti se $x(t; x_0, x_0^\prime) = A cos omega t + B sin omega t$, hai $x(0; x_0, x_0^\prime) = A cos 0 + B sin 0 = A$ e $x^\prime (0; x_0, x_0^\prime) = - omega A sin 0 + omega B cos 0 = omega B$, dunque $A=x_0,\ omega B = x_0^\prime$ imponendo le condizioni iniziali.

[vastità]

Sono uno stupido, grazie