Alcuni dubbi di teoria....
Salve ragazzi, volevo una vostra opinione su questo quesito di teoria:
E' vero che Ogni curva $ C^oo $ nel piano e localmente il grafico di una funzione sull'asse delle
ascisse oppure delle ordinate?
Io credo di no, perchè la condizione necessaria affichè esista un intorno di $ t_o $ tale che la curva ristretta a tale intorno sia il grafico su almeno un asse coordinato è che la curva sia regolare...
Voi che dite?
Un'altra cosa: mi sapreste spiegare perchè la funzione $ f(x,y)={ ( (x^2+y^2)sin(1/x)\ \ \ \ \ \ \x!=0 ),( 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=0 ):} $ e' continua nell'origine?
E' vero che Ogni curva $ C^oo $ nel piano e localmente il grafico di una funzione sull'asse delle
ascisse oppure delle ordinate?
Io credo di no, perchè la condizione necessaria affichè esista un intorno di $ t_o $ tale che la curva ristretta a tale intorno sia il grafico su almeno un asse coordinato è che la curva sia regolare...
Voi che dite?
Un'altra cosa: mi sapreste spiegare perchè la funzione $ f(x,y)={ ( (x^2+y^2)sin(1/x)\ \ \ \ \ \ \x!=0 ),( 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=0 ):} $ e' continua nell'origine?
Risposte
Mostriamo che:
$$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} |f(x,y)-0|=0$$
Passiamo alle coordinate polari
$$|f(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta))| =|\rho^2\sin(\frac{1}{\rho\cos(\theta)})|\leq \rho^2$$[nota]Che tende a 0 per $\rho \rightarrow 0$[/nota]
$$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} |f(x,y)-0|=0$$
Passiamo alle coordinate polari
$$|f(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta))| =|\rho^2\sin(\frac{1}{\rho\cos(\theta)})|\leq \rho^2$$[nota]Che tende a 0 per $\rho \rightarrow 0$[/nota]
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