Alcune trasformate di Fourier
Si comincia con gli esercizi di analisi 3. Per la verità, molto affascinante, ma ancora per lo più oscura a me. Veniamo al dunque: porto due trasformate, potreste verificare il loro corretto svolgimento?
1) $F( t (-1)^([t]) )(y)$.
Io so che $ d/(dy) F( f(z) )(y) = -2 pi i F( zf(z) )( y ) $. Posso allora esprimere la mia trasformata come:
$F( t (-1)^([t]) )(y) = - 1/(2 pi i ) d/(dy) F( (-1)^([t]) )(y)$
Ora vengono i problemi. Seguitemi: la trasformata al secondo membro è periodica di periodo $T = 2$. Per la regola della trasformata di funzioni periodiche, posso allora scrivere:
$\mathcal{F}[g(t)](f) = \frac{1}{T} \sum_{k= -\infty}^{+\infty} G_t(\frac{k}{T}) e^{i \frac{2 \pi k t}{T}}$
nel mio caso, nell'intervallo $]-1,1[$ la mia funzione si comporta come $-u(t)$. Allora scriverò
$ F( (-1)^([t]) )(y) = -1/2 \sum_{k= -\infty}^{+\infty} \delta(k/2) e^{i \pi k y} $
La trasformata iniziale allora sarà:
$F( t (-1)^([t]) )(y) = 1/(4 pi i ) d/(dy) \sum_{k= -\infty}^{+\infty} \delta(k/2) e^{i \pi k y} = 1/2 \sum_{k= -\infty}^{+\infty} \delta(k/2) k e^{i \pi k y}$
Tutto questo se fossero valide le ipotesi del teorema di passaggio della derivata sotto la sommatoria. Potete confermarmi che questo risultato sia corretto? Ho forti dubbi sia sull'applicazione della derivata, sia della considerazione del problema come periodico.
2) $F( t cos t )(y)$.
Riutilizzo la formula di prima. Ottengo:
$ F( t cos t )(y) = -1/(2 pi i ) d/(dy) F( cos t )(y) $.
La seconda trasformata è da intendere nel senso delle distribuzioni, in quanto il coseno è a crescenza lenta. Scrivo:
$ F( t cos t )(y) = -1/(4 pi i ) d/(dy) { delta(y-1/(2pi)) + delta(y+1/(2pi)) } $.
Ora.. Come derivo la delta? L'ho trovata semplicemente espressa come $delta'$. Devo procedere semplicemente così? Per definizione, sarebbe:
$ < delta', varphi > := - =- varphi'(0)$. Tuttavia non capisco come questo mi possa aiutare. Mi date qualche dritta?
Concludo: ancora sono agli inizi, devo rivedere meglio la teoria. Purtroppamente col mio professore abbiamo fatto davvero pochissimi esercizi quindi i miei dubbi sono relativi alla pratica... anche se, se avessi studiato di più la teoria ( cosa che mi sto accingendo a fare ), probabilmente li avrei risolti. Spero comunque che voi mi sappiate indirizzare meglio. Danke
1) $F( t (-1)^([t]) )(y)$.
Io so che $ d/(dy) F( f(z) )(y) = -2 pi i F( zf(z) )( y ) $. Posso allora esprimere la mia trasformata come:
$F( t (-1)^([t]) )(y) = - 1/(2 pi i ) d/(dy) F( (-1)^([t]) )(y)$
Ora vengono i problemi. Seguitemi: la trasformata al secondo membro è periodica di periodo $T = 2$. Per la regola della trasformata di funzioni periodiche, posso allora scrivere:
$\mathcal{F}[g(t)](f) = \frac{1}{T} \sum_{k= -\infty}^{+\infty} G_t(\frac{k}{T}) e^{i \frac{2 \pi k t}{T}}$
nel mio caso, nell'intervallo $]-1,1[$ la mia funzione si comporta come $-u(t)$. Allora scriverò
$ F( (-1)^([t]) )(y) = -1/2 \sum_{k= -\infty}^{+\infty} \delta(k/2) e^{i \pi k y} $
La trasformata iniziale allora sarà:
$F( t (-1)^([t]) )(y) = 1/(4 pi i ) d/(dy) \sum_{k= -\infty}^{+\infty} \delta(k/2) e^{i \pi k y} = 1/2 \sum_{k= -\infty}^{+\infty} \delta(k/2) k e^{i \pi k y}$
Tutto questo se fossero valide le ipotesi del teorema di passaggio della derivata sotto la sommatoria. Potete confermarmi che questo risultato sia corretto? Ho forti dubbi sia sull'applicazione della derivata, sia della considerazione del problema come periodico.
2) $F( t cos t )(y)$.
Riutilizzo la formula di prima. Ottengo:
$ F( t cos t )(y) = -1/(2 pi i ) d/(dy) F( cos t )(y) $.
La seconda trasformata è da intendere nel senso delle distribuzioni, in quanto il coseno è a crescenza lenta. Scrivo:
$ F( t cos t )(y) = -1/(4 pi i ) d/(dy) { delta(y-1/(2pi)) + delta(y+1/(2pi)) } $.
Ora.. Come derivo la delta? L'ho trovata semplicemente espressa come $delta'$. Devo procedere semplicemente così? Per definizione, sarebbe:
$ < delta', varphi > := -
Concludo: ancora sono agli inizi, devo rivedere meglio la teoria. Purtroppamente col mio professore abbiamo fatto davvero pochissimi esercizi quindi i miei dubbi sono relativi alla pratica... anche se, se avessi studiato di più la teoria ( cosa che mi sto accingendo a fare ), probabilmente li avrei risolti. Spero comunque che voi mi sappiate indirizzare meglio. Danke
Risposte
Ne approfitto per chiedere anche questo:
$F( 1/(1+t^6) )(y)$.
Il denominatore ha 6 radici, ovviamente. Tre di queste sono nel semipiano $Imt > 0$, le altre nel rimanente. Ora.. Supponendo che voglia trovarmi la trasformata... Devo calcolare:
$int_(-oo)^(+oo) e^(-2 pi i y t) 1/(1+t^6) dt = 2pi i [ Res( f(t), t_0 )+ Res( f(t), t_1 ) + Res( f(t), t_2 ) ] - int_(Gamma_R) e^(-2 pi i y t) f(t) dt$
no? Ora.. Per il lemma di Jordan l'integrale sulla semicirconferenza è identicamente nullo. Il problema sono i residui: Esprimendo i punti singolari in forma esponenziale, sono del tipo:
$ e^ (i(pi + 2kpi)/6)$ per $ 0 <= k <= 6$.
Allora scrivo:
$1/(1+t^6) = 1/( (t-e^(i pi/6))(t-e^(i pi/2)) "...")$
e, quando passo al limite per calcolare il residuo, al denominatore mi restano sempre i termini del tipo $e^(i alpha) - e^(i beta)$, per me impossibili da trattare, se non in qualche raro caso in cui mi posso ricondurre al seno complesso.
Come ne devo uscire fuori?
$F( 1/(1+t^6) )(y)$.
Il denominatore ha 6 radici, ovviamente. Tre di queste sono nel semipiano $Imt > 0$, le altre nel rimanente. Ora.. Supponendo che voglia trovarmi la trasformata... Devo calcolare:
$int_(-oo)^(+oo) e^(-2 pi i y t) 1/(1+t^6) dt = 2pi i [ Res( f(t), t_0 )+ Res( f(t), t_1 ) + Res( f(t), t_2 ) ] - int_(Gamma_R) e^(-2 pi i y t) f(t) dt$
no? Ora.. Per il lemma di Jordan l'integrale sulla semicirconferenza è identicamente nullo. Il problema sono i residui: Esprimendo i punti singolari in forma esponenziale, sono del tipo:
$ e^ (i(pi + 2kpi)/6)$ per $ 0 <= k <= 6$.
Allora scrivo:
$1/(1+t^6) = 1/( (t-e^(i pi/6))(t-e^(i pi/2)) "...")$
e, quando passo al limite per calcolare il residuo, al denominatore mi restano sempre i termini del tipo $e^(i alpha) - e^(i beta)$, per me impossibili da trattare, se non in qualche raro caso in cui mi posso ricondurre al seno complesso.
Come ne devo uscire fuori?
posso credere che proprio nessuno possa darmi una mano? 
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