Alcune serie numeriche
Ho provato a studiare il carattere di alcune serie numeriche e volevo chiedere conferma di quanto fatto.
[tex]\sum_{n \to 1 }^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n^2+\sin(n)}[/tex]
E' una serie a segni alterni, ho voluto studiare l'assoluta convergenza.
[tex]|\frac{(-1)^n}{2n^2+\sin(n)}|=\frac{1}{2n^2+\sin(n)}\leq\frac{1}{n^2}[/tex]
La serie dovrebbe essere assolutamente convergente e dunque convergente perchè maggiorata dalla serie armonica che in quel caso converge.
[tex](\sin\frac{1}{n})^n[/tex]
Dovrebbe essere una serie geometrica di ragione [tex]\sin(\frac{1}{n})[/tex]
Per cui converge quando è compreso tra -1 ed 1 e diverge quando è uguale ad 1.
Ho pensato che è sempre convergente perchè l'argomento del seno è infinitesimo, cioè si ha sempre [tex]\sin(0)[/tex] che è uguale a 0, e non potrà mai essere uguale ad 1.
[tex]\frac{(-1)^n}{3n+\cos(n)}[/tex]
Ho studiato anche qui l'assoluta convergenza e applicato il criterio di Leibnitz.
La successione dovrebbe essere decrescente poichè:
[tex]\frac{1}{3n+\cos(n)}>\frac{1}{3n+3+\cos(n+1)}[/tex]
[tex]\cos(n)<3+\cos(n+1)[/tex]
E dovrebbe essere sempre vera, calcolando il limite del termine generale trovo 0.
[tex]\frac{1}{3n+\cos(n)}=\frac{1}{3n(1+\frac{\cos(n)}{3n})}[/tex]
E dunque è assolutamente convergente e converge.
[tex]\sum_{n \to 1 }^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n^2+\sin(n)}[/tex]
E' una serie a segni alterni, ho voluto studiare l'assoluta convergenza.
[tex]|\frac{(-1)^n}{2n^2+\sin(n)}|=\frac{1}{2n^2+\sin(n)}\leq\frac{1}{n^2}[/tex]
La serie dovrebbe essere assolutamente convergente e dunque convergente perchè maggiorata dalla serie armonica che in quel caso converge.
[tex](\sin\frac{1}{n})^n[/tex]
Dovrebbe essere una serie geometrica di ragione [tex]\sin(\frac{1}{n})[/tex]
Per cui converge quando è compreso tra -1 ed 1 e diverge quando è uguale ad 1.
Ho pensato che è sempre convergente perchè l'argomento del seno è infinitesimo, cioè si ha sempre [tex]\sin(0)[/tex] che è uguale a 0, e non potrà mai essere uguale ad 1.
[tex]\frac{(-1)^n}{3n+\cos(n)}[/tex]
Ho studiato anche qui l'assoluta convergenza e applicato il criterio di Leibnitz.
La successione dovrebbe essere decrescente poichè:
[tex]\frac{1}{3n+\cos(n)}>\frac{1}{3n+3+\cos(n+1)}[/tex]
[tex]\cos(n)<3+\cos(n+1)[/tex]
E dovrebbe essere sempre vera, calcolando il limite del termine generale trovo 0.
[tex]\frac{1}{3n+\cos(n)}=\frac{1}{3n(1+\frac{\cos(n)}{3n})}[/tex]
E dunque è assolutamente convergente e converge.
Risposte
1. OK.
2. No. Non si è mai vista una serie geometrica con la ragione dipendente dall'indice. Riprova (casomai usando coscenziosamente il fatto che [tex]$\sin \tfrac{1}{n} \to 0$[/tex] oppure la relazione [tex]$\sin x\leq x$[/tex] per [tex]$x\geq 0$[/tex]).
3. Buono il procedimento, ma Leibniz ti da solo una condizione sufficiente alla convergenza semplice. Se non lo facesse, la serie armonica alternata [tex]\sum \tfrac{(-1)^n}{n}[/tex] dovrebbe convergere assolutamente, il che è assurdo.
La serie, d'altra parte, non può essere assolutamente convergente (perchè?).
2. No. Non si è mai vista una serie geometrica con la ragione dipendente dall'indice. Riprova (casomai usando coscenziosamente il fatto che [tex]$\sin \tfrac{1}{n} \to 0$[/tex] oppure la relazione [tex]$\sin x\leq x$[/tex] per [tex]$x\geq 0$[/tex]).
3. Buono il procedimento, ma Leibniz ti da solo una condizione sufficiente alla convergenza semplice. Se non lo facesse, la serie armonica alternata [tex]\sum \tfrac{(-1)^n}{n}[/tex] dovrebbe convergere assolutamente, il che è assurdo.
La serie, d'altra parte, non può essere assolutamente convergente (perchè?).
1) Wow....il criterio del confronto mi è riuscito...sono commosso..
2) Si hai ragione....si fa banalmente usando la relazione [tex]|\sin(x)|\leq |x|[/tex] per ogni x reale, nel mio caso [tex]\frac{1}{n}[/tex] è infinitesima e quindi per il criterio del confronto converge.
Per caso avrei potuto dire che semplicemente, poichè [tex]\sin(\frac{1}{n})[/tex] tende a 0, il termine generale sarà sempre 0 dunque convergerà?
3)...rimango un pò....shockato...
Quello che dici sull'assurdo della serie armonica è vero, però io ho sempre usato il criterio di Leibnitz e non mi sono mai accorto di questa cosa, quindi non va perchè c'è quella serie armonica?
Altrimenti il ragionamento andava bene, cosa intendi per convergenza semplice? Perchè non è semplice in questo caso?
Sto avendo perplessità sul fatto che lo abbiamo usato spesso ma che a volte devo stare attento, perchè se il ragionamento è corretto, perchè dovrei preoccuparmi...non me ne sarei accorto, quando posso stare tranquillo nell'usarlo?
La serie dici non possa essere assolutamente convergente...........dovrei vedere a occhio che diverge?
2) Si hai ragione....si fa banalmente usando la relazione [tex]|\sin(x)|\leq |x|[/tex] per ogni x reale, nel mio caso [tex]\frac{1}{n}[/tex] è infinitesima e quindi per il criterio del confronto converge.
Per caso avrei potuto dire che semplicemente, poichè [tex]\sin(\frac{1}{n})[/tex] tende a 0, il termine generale sarà sempre 0 dunque convergerà?
3)...rimango un pò....shockato...
Quello che dici sull'assurdo della serie armonica è vero, però io ho sempre usato il criterio di Leibnitz e non mi sono mai accorto di questa cosa, quindi non va perchè c'è quella serie armonica?
Altrimenti il ragionamento andava bene, cosa intendi per convergenza semplice? Perchè non è semplice in questo caso?
Sto avendo perplessità sul fatto che lo abbiamo usato spesso ma che a volte devo stare attento, perchè se il ragionamento è corretto, perchè dovrei preoccuparmi...non me ne sarei accorto, quando posso stare tranquillo nell'usarlo?
La serie dici non possa essere assolutamente convergente...........dovrei vedere a occhio che diverge?
"Darèios89":
2) Si hai ragione....si fa banalmente usando la relazione [tex]|\sin(x)|\leq |x|[/tex] per ogni x reale, nel mio caso [tex]\frac{1}{n}[/tex] è infinitesima e quindi per il criterio del confronto converge.
Per caso avrei potuto dire che semplicemente, poichè [tex]\sin(\frac{1}{n})[/tex] tende a 0, il termine generale sarà sempre 0 dunque convergerà?
Ovviamente no; infatti [tex]$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$[/tex] diverge...
Il fatto è che quella maggiorazione ti porta ad una serie con addendi [tex]$\frac{1}{n^n}$[/tex] che sono fortemente infinitesimi (per usare un eufemismo...); insomma, è confronto asintotico.
"Darèios89":
3)...rimango un pò....shockato...
Quello che dici sull'assurdo della serie armonica è vero, però io ho sempre usato il criterio di Leibnitz e non mi sono mai accorto di questa cosa, quindi non va perchè c'è quella serie armonica?
Altrimenti il ragionamento andava bene, cosa intendi per convergenza semplice? Perchè non è semplice in questo caso?
Sto avendo perplessità sul fatto che lo abbiamo usato spesso ma che a volte devo stare attento, perchè se il ragionamento è corretto, perchè dovrei preoccuparmi...non me ne sarei accorto, quando posso stare tranquillo nell'usarlo?
La serie dici non possa essere assolutamente convergente...........dovrei vedere a occhio che diverge?
Convergenza semplice equivale a dire che "[tex]$\sum a_n$[/tex] converge".
Convergenza assoluta equivale a "[tex]$\sum |a_n|$[/tex] converge".
Come saprai la convergenza assoluta implica quella semplice, ma non vale il viceversa (libro di teoria, pagina [tex]$-2$[/tex] del capitolo sulle serie).
E Leibniz ti dice se gli addendi sono fatti così e così, allora la serie converge... La convergenza assoluta non è proprio nominata nell'enunciato (pagina [tex]$3$[/tex] del capitolo sulle serie).
Ovviamente che quella serie non è assolutamente convergente lo si vede "ad occhio" (gli addendi sono "parenti" di quelli della serie armonica, che diverge); oppure col confronto asintotico con (qualche multiplo del)la serie armonica.
Il problema è per la terza serie.
Purtroppo non abbiamo fatto il confronto asintotico, devo trovare un'altra strada se possibile, l'ho preso da internet e potrebbe darsi che senza il confronto asitotico non si possa fare..?
Però...non riesco a capire l'errore del mio metodo di risoluzione, io ho studiato l'asoluta convergenza...perchè non l'avrei trovata?
Ho supposto di studiare l'asoluta convergenza e non ho esplicitato
[tex]\frac{(-1)^n}{3n+\cos(n)}[/tex]
La monotonia dovrebbe andare bene e calcolo il limite di [tex]|an|[/tex] e mi viene 0.
Non l'ho scritto cme valore assoluto nell'ultimo passaggio però se lo avessi fatto avrei trovato che il limite del valore assoluto va a 0 e su risultato del limite dovremmo pure esserci.
Ora è vero quello che dici sulla serie armonica e l'ho capito, ma ho fatto tutto quello che il criterio diceva ed è verificato.
Il limite del valore assoluto del termine della serie è 0, è monotona decrescente, ho studiato l'assoluta convergente dunque dovrebbe essere assolutamente convergente e convergere.
Ora questo è stato il mio ragionamento, che tu mi hai già detto che è sbagliato
Ma non riesco a trovare niente di sbagliato...il teorema dovrebbe verificare tutte le ipotesi....
Purtroppo non abbiamo fatto il confronto asintotico, devo trovare un'altra strada se possibile, l'ho preso da internet e potrebbe darsi che senza il confronto asitotico non si possa fare..?
Però...non riesco a capire l'errore del mio metodo di risoluzione, io ho studiato l'asoluta convergenza...perchè non l'avrei trovata?
Ho supposto di studiare l'asoluta convergenza e non ho esplicitato
[tex]\frac{(-1)^n}{3n+\cos(n)}[/tex]
La monotonia dovrebbe andare bene e calcolo il limite di [tex]|an|[/tex] e mi viene 0.
Non l'ho scritto cme valore assoluto nell'ultimo passaggio però se lo avessi fatto avrei trovato che il limite del valore assoluto va a 0 e su risultato del limite dovremmo pure esserci.
Ora è vero quello che dici sulla serie armonica e l'ho capito, ma ho fatto tutto quello che il criterio diceva ed è verificato.
Il limite del valore assoluto del termine della serie è 0, è monotona decrescente, ho studiato l'assoluta convergente dunque dovrebbe essere assolutamente convergente e convergere.
Ora questo è stato il mio ragionamento, che tu mi hai già detto che è sbagliato
Ma non riesco a trovare niente di sbagliato...il teorema dovrebbe verificare tutte le ipotesi....
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