Alcune 'riflessioni' sulle funzioni di Bessel...
Lo scorso fine settimana Kroldar ha aperto un discorso riguardante le funzioni di Bessel [https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?p=98117&highlight=#98117 ] della quale il mio ‘istinto animalesco’ è stato immediatamente solleticato. Ieri sono intervenuto per avere dei chiarimenti ma, vuoi per il fatto che nel frattempo altri argomenti più ‘interessanti’ erano saltati fuori, vuoi per il fatto che, causa uno ‘strano’ inconveniente tecnico, le formule da me scritte non sono risultate ‘leggibili’, nessuno ha voluto approfondire la questione. Dal momento che l’argomento mi pare decisamente ‘interessante’ ho deciso quindi di riaprire un poco il discorso sperando che ne valga la pena…
L’equazione differenziale…
$y''+(y')/x+(1-nu^2/(x^2))*y=0$ (1)
… è comunemente conosciuta con il nome di ‘equazione di Bessel’, dal nome dell’insigne matematico e astronomo tedesco contemporaneo di Gauss che ha dedicato ad essa molto del suo tempo. In essa compare il parametro $nu$ che è comunemente [quanto impropriamente…] definito ‘grado dell’equazione di Bessel’. In realtà $nu$ può essere un qualunque numero reale [volendo anche un qualunque numero complesso…] e non è necessariamente un intero. Vedremo anzi quasi subito che, anche se può sembrare di primo acchito un fatto ‘strano’, il caso in cui $nu$ non è intero è più ‘semplice’ da trattare rispetto al caso in cui $nu$ è un numero intero. Osserviamo per prima cosa che la (1) è un’equazione differenziale di secondo ordine lineare e pertanto la soluzione sarà un a funzione del tipo…
$y(x)= c_1*phi(x)+c_2*psi(x)$ (2)
… in cui $phi(x)$ e $psi(x)$ sono due integrali della (1) qualsiasi purchè linearmente indipendenti, $c_1$ e $c_2$ due ‘costanti arbitrarie’. Il ‘quesito’ posto da Kroldar nel thread segnalato era relativo all’esistenza di integrali della (1) esprimibili nella forma…
$y(x)=sum_(k=0)^(+oo)a_k*x^(2k+nu)=x^nu*sum_(k=0)^(+oo)a_k*x^(2k)$ (3)
E’ del tutto evidente che la (3) può essere scritta in forma ‘semplificata’ come…
$y(x)=x^nu*lambda(x)$ (4)
… dove $lambda(x)$ è una funzione analitica pari di grado $0$ in $x=0$. Per provare la ‘esistenza’ di soluzioni nella forma (3) [questo in sostanza il quesito posto da Kroldar…] la maniera più ovvia di procedere è ricavare le derivate prima e seconda della (3), sostituirle nella (1) e verificare se esistono delle $a_k$ per le quali la (1) è soddisfatta. Si tratta di un lavoro di grande ‘pazienza’ che chi vuole ‘divertirsi un poco’ può sempre ricontrollare [non si sà mai in effetti…]. Qui diamo solo la relazione tra le $a_k$ che si trova volendo soddisfare la (1)…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n*x^n=-sum_(n=2)^(+oo) n*(n-1)*a_n*x^(n-2)-(1+2*nu)*sum_(n=1)^(+oo)n*a_n*x^(n-2)$ (5)
Dal momento che nella serie di sinistra il coefficiente del termine $x^(-1)$ è nullo è abbastanza immediato vedere che è $a_1=0$. Meno immediato ma non difficile è appurare che lo stesso vale per tutte le $a_n$ con $n$ dispari. Per $n$ pari procediamo come segue…
$a_0= -4*(1+nu)*a_2$ -> $a_2=- (a_0)/(4*(1+nu))$
$a_2=-4*2*(2+nu)*a_4$ -> $a_4= -(a_2)/(4*2*(2+nu))$
…
$a_(2k)= -4*(k+1)*(k+1+nu)*a_(2k+2)$ -> $a_(2(k+1)) = - (a_(2k))/(4*(k+1)*(k+1+nu))$ (6)
A questo punto già siamo in grado di abbozzare una prima stesura della ‘soluzione’
$y(x)= a_0* x^nu * (1+sum_(k=1)^(+oo) (-1)^k* ((x/2)^(2k))/(k!*(1+nu)*(2+nu)*…(k+nu)))$ (7)
Alcune semplici osservazioni a questo punto….
a) nella (7) compare il ‘termine indefinito ’ $a_0$ e ciò non sorprende dal momento che un qualunque integrale della (1) è definito a meno di una ‘costante arbitraria’…
b) nella (1) in effetti compare il termine $nu^2$ e questo significa che vi saranno in generale due soluzioni del tipo (7), una con $nu$ positivo, l’altra con $nu$ negativo
In base a questo possiamo, data $nu^2$, identificare due integrali linearmente indipendenti della (1), uno per $nu$ positivo, l’altro per $nu$ negativo che chiameremo rispettivamente $J_nu(x)$ e $J_(-nu)(x)$. Così l’integrale generale della (1) viene ad avere la forma seguente…
$y(x)= c_1*J_nu(x)+c_2*J_(-nu)(x)$ (8)
Molto bene ragazzi!… ora vediamo se riusciamo a mettere a posto il termine $a_0$… Chi di voi ha letto il mio thread ‘giusto un poco polemico’ dal titolo ‘Giusto per ridere un poco’ [https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?p=76151&highlight=#76151] si ricorderà [forse…] che ho ‘inventato’ una variante mia personale della ‘funzione gamma’ definendola in questo modo…
$gamma(x)= int_0^(+oo) t^x*e^(-t)*dt$ (9)
Tra le proprietà di questa funzione quella più importante è probabilmente la seguente…
$gamma(x+1)=(x+1)*gamma(x)$ (10)
Ebbene, dal momento che il termine $a_0$ che compare nella (7) è del tutto arbitrario, nulla ci vieta che sia il seguente…
$a_0= 1/(gamma (nu))$ per $nu$ positivo
$a_0=1/(gamma (-nu))$ per $nu$ negativo (11)
Facendo in questo modo e sfruttando la proprietà (10) possiamo scrivere le seguenti due belle ‘formulette’…
$J_(nu) = x^nu*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k* ((x/2)^(2k))/(k!*gamma(k+nu))$
$J_(-nu)= x^(-nu)*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*((x/2)^(2k))/(k!*gamma(k-nu))$ (12)
Come vedremo più avanti si tratta di un bel risultato che però non vale sempre. In particolare vedremo che non vale quando $nu$ è intero. Per il momento faccio una pausa… però prima di concludere una piccola domanda…
Si può affermare che, almeno per $nu$ non intero, che l’esistenza di integrali della equazione di Bessel nella forma (3) è dimostrata?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
L’equazione differenziale…
$y''+(y')/x+(1-nu^2/(x^2))*y=0$ (1)
… è comunemente conosciuta con il nome di ‘equazione di Bessel’, dal nome dell’insigne matematico e astronomo tedesco contemporaneo di Gauss che ha dedicato ad essa molto del suo tempo. In essa compare il parametro $nu$ che è comunemente [quanto impropriamente…] definito ‘grado dell’equazione di Bessel’. In realtà $nu$ può essere un qualunque numero reale [volendo anche un qualunque numero complesso…] e non è necessariamente un intero. Vedremo anzi quasi subito che, anche se può sembrare di primo acchito un fatto ‘strano’, il caso in cui $nu$ non è intero è più ‘semplice’ da trattare rispetto al caso in cui $nu$ è un numero intero. Osserviamo per prima cosa che la (1) è un’equazione differenziale di secondo ordine lineare e pertanto la soluzione sarà un a funzione del tipo…
$y(x)= c_1*phi(x)+c_2*psi(x)$ (2)
… in cui $phi(x)$ e $psi(x)$ sono due integrali della (1) qualsiasi purchè linearmente indipendenti, $c_1$ e $c_2$ due ‘costanti arbitrarie’. Il ‘quesito’ posto da Kroldar nel thread segnalato era relativo all’esistenza di integrali della (1) esprimibili nella forma…
$y(x)=sum_(k=0)^(+oo)a_k*x^(2k+nu)=x^nu*sum_(k=0)^(+oo)a_k*x^(2k)$ (3)
E’ del tutto evidente che la (3) può essere scritta in forma ‘semplificata’ come…
$y(x)=x^nu*lambda(x)$ (4)
… dove $lambda(x)$ è una funzione analitica pari di grado $0$ in $x=0$. Per provare la ‘esistenza’ di soluzioni nella forma (3) [questo in sostanza il quesito posto da Kroldar…] la maniera più ovvia di procedere è ricavare le derivate prima e seconda della (3), sostituirle nella (1) e verificare se esistono delle $a_k$ per le quali la (1) è soddisfatta. Si tratta di un lavoro di grande ‘pazienza’ che chi vuole ‘divertirsi un poco’ può sempre ricontrollare [non si sà mai in effetti…]. Qui diamo solo la relazione tra le $a_k$ che si trova volendo soddisfare la (1)…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n*x^n=-sum_(n=2)^(+oo) n*(n-1)*a_n*x^(n-2)-(1+2*nu)*sum_(n=1)^(+oo)n*a_n*x^(n-2)$ (5)
Dal momento che nella serie di sinistra il coefficiente del termine $x^(-1)$ è nullo è abbastanza immediato vedere che è $a_1=0$. Meno immediato ma non difficile è appurare che lo stesso vale per tutte le $a_n$ con $n$ dispari. Per $n$ pari procediamo come segue…
$a_0= -4*(1+nu)*a_2$ -> $a_2=- (a_0)/(4*(1+nu))$
$a_2=-4*2*(2+nu)*a_4$ -> $a_4= -(a_2)/(4*2*(2+nu))$
…
$a_(2k)= -4*(k+1)*(k+1+nu)*a_(2k+2)$ -> $a_(2(k+1)) = - (a_(2k))/(4*(k+1)*(k+1+nu))$ (6)
A questo punto già siamo in grado di abbozzare una prima stesura della ‘soluzione’
$y(x)= a_0* x^nu * (1+sum_(k=1)^(+oo) (-1)^k* ((x/2)^(2k))/(k!*(1+nu)*(2+nu)*…(k+nu)))$ (7)
Alcune semplici osservazioni a questo punto….
a) nella (7) compare il ‘termine indefinito ’ $a_0$ e ciò non sorprende dal momento che un qualunque integrale della (1) è definito a meno di una ‘costante arbitraria’…
b) nella (1) in effetti compare il termine $nu^2$ e questo significa che vi saranno in generale due soluzioni del tipo (7), una con $nu$ positivo, l’altra con $nu$ negativo
In base a questo possiamo, data $nu^2$, identificare due integrali linearmente indipendenti della (1), uno per $nu$ positivo, l’altro per $nu$ negativo che chiameremo rispettivamente $J_nu(x)$ e $J_(-nu)(x)$. Così l’integrale generale della (1) viene ad avere la forma seguente…
$y(x)= c_1*J_nu(x)+c_2*J_(-nu)(x)$ (8)
Molto bene ragazzi!… ora vediamo se riusciamo a mettere a posto il termine $a_0$… Chi di voi ha letto il mio thread ‘giusto un poco polemico’ dal titolo ‘Giusto per ridere un poco’ [https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?p=76151&highlight=#76151] si ricorderà [forse…] che ho ‘inventato’ una variante mia personale della ‘funzione gamma’ definendola in questo modo…
$gamma(x)= int_0^(+oo) t^x*e^(-t)*dt$ (9)
Tra le proprietà di questa funzione quella più importante è probabilmente la seguente…
$gamma(x+1)=(x+1)*gamma(x)$ (10)
Ebbene, dal momento che il termine $a_0$ che compare nella (7) è del tutto arbitrario, nulla ci vieta che sia il seguente…
$a_0= 1/(gamma (nu))$ per $nu$ positivo
$a_0=1/(gamma (-nu))$ per $nu$ negativo (11)
Facendo in questo modo e sfruttando la proprietà (10) possiamo scrivere le seguenti due belle ‘formulette’…
$J_(nu) = x^nu*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k* ((x/2)^(2k))/(k!*gamma(k+nu))$
$J_(-nu)= x^(-nu)*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*((x/2)^(2k))/(k!*gamma(k-nu))$ (12)
Come vedremo più avanti si tratta di un bel risultato che però non vale sempre. In particolare vedremo che non vale quando $nu$ è intero. Per il momento faccio una pausa… però prima di concludere una piccola domanda…
Si può affermare che, almeno per $nu$ non intero, che l’esistenza di integrali della equazione di Bessel nella forma (3) è dimostrata?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
Ragazzi
nella auspicata attesa che uno di voi intervenga sulla questione facciamo un poco di considerazioni su quanto trovato ieri. Data l’equazione differenziale…
$y''+(y')/x+(1-nu^2/(x^2))*y=0$ (1)
… si è dimostrato ieri che [salvo per il momento il caso in cui $nu$ è intero…], il suo integrale ‘generale’ è dato da…
$y(x)= c_1*J_nu (x) + c_2*J_(-nu) (x)$ (2)
… con…
$J_(nu) = x^nu*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k* ((x/2)^(2k))/(k!*gamma(k+nu))$
$J_(-nu)= x^(-nu)*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*(x/2)^(2k)/(k!*gamma(k-nu))$ (3)
Nell’ipotesi di $nu$ non intero, osservando le (3) possiamo subito dire che tutti gli integrali della (1) diversi dalla funzione identicamente nulla hanno in $x=0$ un punto di diramazione e questo fa sì che non sia possibile imporre ‘condizioni’ in tale punto. E’ evidente infatti che se è $c_1=0$ e $c_2ne0$ la soluzione sarà illimitata nell’intorno di $x=0$, e se è $c_2=0$ e $c_1ne0$ sarà in ogni caso $y(0)=0$. Una difficoltà ‘pratica’ riguardo alle (3) è legata alla funzione gamma, il cui calcolo in generale risulta difficoltoso se l’argomento non è un numero intero. Un esempio ‘abbordabile’ con relativa facilità è dato da $nu=1/2$, in quanto sono noti i valori…
$gamma(1/2)=(sqrt(pi))/2$
$gamma(-1/2)=sqrt(pi)$ (4)
La conoscenza di questi valori e l’uso sistematico della proprietà di ‘estensione in avanti’ della funzione gamma consente il calcolo numerico delle (3). I grafici della $J_(1/2) (x)$ e della $J_(-1/2) (x)$ sono qui illustrati…
Bene ragazzi!… Prima di passare ad esaminare il caso in cui $nu$ è intero una domanda per i cosiddetti ‘esperti’…
Appurato che nel caso di $nu$ non intero esiste una soluzione della (1) che assume in $x_1ne0$ il valore $y_1$ e in $x_2ne0$ il valore $y_2$, possiamo dire che tale soluzione è unica?…
cordiali saluti
lupo grigio
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nella auspicata attesa che uno di voi intervenga sulla questione facciamo un poco di considerazioni su quanto trovato ieri. Data l’equazione differenziale…
$y''+(y')/x+(1-nu^2/(x^2))*y=0$ (1)
… si è dimostrato ieri che [salvo per il momento il caso in cui $nu$ è intero…], il suo integrale ‘generale’ è dato da…
$y(x)= c_1*J_nu (x) + c_2*J_(-nu) (x)$ (2)
… con…
$J_(nu) = x^nu*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k* ((x/2)^(2k))/(k!*gamma(k+nu))$
$J_(-nu)= x^(-nu)*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*(x/2)^(2k)/(k!*gamma(k-nu))$ (3)
Nell’ipotesi di $nu$ non intero, osservando le (3) possiamo subito dire che tutti gli integrali della (1) diversi dalla funzione identicamente nulla hanno in $x=0$ un punto di diramazione e questo fa sì che non sia possibile imporre ‘condizioni’ in tale punto. E’ evidente infatti che se è $c_1=0$ e $c_2ne0$ la soluzione sarà illimitata nell’intorno di $x=0$, e se è $c_2=0$ e $c_1ne0$ sarà in ogni caso $y(0)=0$. Una difficoltà ‘pratica’ riguardo alle (3) è legata alla funzione gamma, il cui calcolo in generale risulta difficoltoso se l’argomento non è un numero intero. Un esempio ‘abbordabile’ con relativa facilità è dato da $nu=1/2$, in quanto sono noti i valori…
$gamma(1/2)=(sqrt(pi))/2$
$gamma(-1/2)=sqrt(pi)$ (4)
La conoscenza di questi valori e l’uso sistematico della proprietà di ‘estensione in avanti’ della funzione gamma consente il calcolo numerico delle (3). I grafici della $J_(1/2) (x)$ e della $J_(-1/2) (x)$ sono qui illustrati…
Bene ragazzi!… Prima di passare ad esaminare il caso in cui $nu$ è intero una domanda per i cosiddetti ‘esperti’…
Appurato che nel caso di $nu$ non intero esiste una soluzione della (1) che assume in $x_1ne0$ il valore $y_1$ e in $x_2ne0$ il valore $y_2$, possiamo dire che tale soluzione è unica?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Teoremi di unicità nei problemi ai limiti?
Ora non ho pensato bene alla questione in esame ma mi puzza parecchio.
Addio spettro degli autovalori!
Ora non ho pensato bene alla questione in esame ma mi puzza parecchio.
Addio spettro degli autovalori!
Ringraziando l’amico Maxos per il suo ‘intervento’ vediamo un poco [se possibile…] di ‘confortarlo’. Finora abbiamo dato un’occhiata alle soluzione dell’equazione…
$y''+(y')/x+(1-nu^2/(x^2))*y=0$ (1)
… quando $nu$ non è un numero intero. Vediamo ora che succede quando invece $nu$ è intero e in tal caso poniamo nella (1) $n$ al posto di $nu$…
$y''+(y')/x+(1-n^2/(x^2))*y=0$ (2)
Siccome in linea di principio poco o nulla dovrebbe cambiare proviamo a fare la medesima sostituzione nella coppia di integrali linearmente indipendenti che abbiamo già trovato in precedenza. Avremo…
$J_n(x)= x^n*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k* (x^(2k))/(2^(2k)*k!*gamma(k+n))$
$J_(-n)(x)= x^(-n)*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*(x)^(2k)/(2^(2k)*k!*gamma(k-n))$ (3)
Subito vediamo che per $n=0$ le due funzioni coincidono e pertanto non saranno più linearmente indipendenti. Proviamo allora $n=1$. In tal caso il contributo per $k=0$ della seconda funzione è nullo per la presenza al denominatore della $gamma(-1)$ [ricordiamo che la funzione $gamma(x)$ è divergente per $x=-1,-2,…$]. Pertanto sarà…
$J_1(x)=sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k+1)/(2^(2k)*k!*(k+1)!)$
$J_(-1)(x)= sum_(k=1)^(+oo) (-1)^k*x^(2k-1)/(2^(2k)*k!*(k-1)!)=$
$=-1/2*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k+1)/(2^(2k)*k!*(k+1)!)=-1/2*J_1(x)$ (4)
No… non ci siamo proprio neanche qui!… le due funzioni trovate non sono linearmente indipendenti e quindi una sola di esse è utile. Proseguendo per altri valori di $n$ si trovano situazioni analoghe. In generale è…
$J_n(x)= sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k+n)/(2^(2k)*k!*(k+n)!) (5)
ed inoltre è…
$J_(-n) (x) = (-1)^n/(2^n)*J_n(x)$ (6)
Le (5) sono conosciute con il nome di Funzioni di Bessel del primo tipo. Ognuna di esse è soluzione della (2). L’integrale generale della (2) però sappiamo è determinato quando si conoscono due integrali linearmente indipendenti indipendenti, ossia è…
$y(x)= c_1 *J_n (x) + c_2*Y_n (x)$ (7)
… con $c_1$ e $c_2$ ‘costanti arbitrarie’ e $Y_n(x)$ un integrale particolare linearmente indipendente dalla $J_n(x)$. Dal momento che le $J_(-n) (x)$, a differenza di prima, non possono svolgere questo ruolo, vedremo prossimamente come trovare la $Y_n(x)$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$y''+(y')/x+(1-nu^2/(x^2))*y=0$ (1)
… quando $nu$ non è un numero intero. Vediamo ora che succede quando invece $nu$ è intero e in tal caso poniamo nella (1) $n$ al posto di $nu$…
$y''+(y')/x+(1-n^2/(x^2))*y=0$ (2)
Siccome in linea di principio poco o nulla dovrebbe cambiare proviamo a fare la medesima sostituzione nella coppia di integrali linearmente indipendenti che abbiamo già trovato in precedenza. Avremo…
$J_n(x)= x^n*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k* (x^(2k))/(2^(2k)*k!*gamma(k+n))$
$J_(-n)(x)= x^(-n)*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*(x)^(2k)/(2^(2k)*k!*gamma(k-n))$ (3)
Subito vediamo che per $n=0$ le due funzioni coincidono e pertanto non saranno più linearmente indipendenti. Proviamo allora $n=1$. In tal caso il contributo per $k=0$ della seconda funzione è nullo per la presenza al denominatore della $gamma(-1)$ [ricordiamo che la funzione $gamma(x)$ è divergente per $x=-1,-2,…$]. Pertanto sarà…
$J_1(x)=sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k+1)/(2^(2k)*k!*(k+1)!)$
$J_(-1)(x)= sum_(k=1)^(+oo) (-1)^k*x^(2k-1)/(2^(2k)*k!*(k-1)!)=$
$=-1/2*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k+1)/(2^(2k)*k!*(k+1)!)=-1/2*J_1(x)$ (4)
No… non ci siamo proprio neanche qui!… le due funzioni trovate non sono linearmente indipendenti e quindi una sola di esse è utile. Proseguendo per altri valori di $n$ si trovano situazioni analoghe. In generale è…
$J_n(x)= sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k+n)/(2^(2k)*k!*(k+n)!) (5)
ed inoltre è…
$J_(-n) (x) = (-1)^n/(2^n)*J_n(x)$ (6)
Le (5) sono conosciute con il nome di Funzioni di Bessel del primo tipo. Ognuna di esse è soluzione della (2). L’integrale generale della (2) però sappiamo è determinato quando si conoscono due integrali linearmente indipendenti indipendenti, ossia è…
$y(x)= c_1 *J_n (x) + c_2*Y_n (x)$ (7)
… con $c_1$ e $c_2$ ‘costanti arbitrarie’ e $Y_n(x)$ un integrale particolare linearmente indipendente dalla $J_n(x)$. Dal momento che le $J_(-n) (x)$, a differenza di prima, non possono svolgere questo ruolo, vedremo prossimamente come trovare la $Y_n(x)$…
cordiali saluti
lupo grigio
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Ragazzi
riprendiamo il discorso interrotto ieri e cerchiamo di trovare un modo generale per affrontare l’equazione differenziale di Bessel…
$y’’+y’/x+(1-nu^2/x^2)*y=0$ (1)
Dal momento che l’equazione è lineare, il suo integrale generale è della forma…
$y(x)=c_1*u(x)+c_2*v(x)$ (2)
… con $u(x)$ e $v(x)$ due qualsiasi integrali della (1) purchè linearmente indipendenti, $c_1$ e $c_2$ due ‘costanti arbitrarie’. Essendo $u(x)$ e $v(x)$ entrambi integrali della (1) sarà…
$u’’+(u’)/x+(1-nu^2/x^2)*u=0$
$v’’+(v’)/x+(1-nu^2/x^2)*v=0$ (3)
Se moltiplico la prima delle (3) per $v$, la seconda per $u$ e faccio la differenza ottengo…
$v*u’’+(v*u’)/x+(1-nu^2/x^2)*v*u-u*v’’-(u*v’)/x-(1-nu^2/x^2)*v*u=0$ (4)
… da cui con poca fatica si ottiene…
$x*(v*u’’-u*v’’)+u’*v-v’*u= d/dx [x(u’*v-v’*u)]=0$ (5)
Allora ragazzi, si è ottenuto una bella equazione differenziale che lega in qualche modo $u$ e $v$ e, cosa assai piacevole, è indipendente da $nu$… very good!… L’equazione (5) è assai facile da affrontare e questa è la soluzione…
$x(u’*v-u*v’)= c_2$ (6)
… con $c_2$ ovviamente ‘costante arbitraria’. Se dividiamo i due membri della (6) per $x*v^2$ otteniamo…
$(u’*v-u*v’)/v^2= d/dx (u/v)= c_2/(x*v^2)$ (7)
Questa è un’altra equazione differenziale la cui soluzione è…
$u/v= c_1+c_2*int dx/(x*v^2)$ (8)
Se ora poniamo $v= J_nu (x)$ otteniamo…
$u= c_1*J_nu (x) + c_2*J_nu(x) * int dx/(x*J_nu^2 (x))$ (9)
La soluzione generale della (1) sarà dunque della tipo…
$y(x)= c_1*J_nu (x) + c_2* Y_nu (x)$ (10)
… in cui $J_nu (x)$ è la funzione di Bessel del primo tipo di cui già abbiamo parlato e $Y_nu (x)$ è un integrale della (1) indipendente dal primo che chiameremo funzione di Bessel del secondo tipo. Dal confronto tra la (9) e la (10) si vede che è…
$Y_nu (x) = J_nu (x) * int dx/(x*J_nu^2 (x))$ (11)
Per ora mi fermo qui ragazzi… Una raccomandazione: non perdete le prossime puntate!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
riprendiamo il discorso interrotto ieri e cerchiamo di trovare un modo generale per affrontare l’equazione differenziale di Bessel…
$y’’+y’/x+(1-nu^2/x^2)*y=0$ (1)
Dal momento che l’equazione è lineare, il suo integrale generale è della forma…
$y(x)=c_1*u(x)+c_2*v(x)$ (2)
… con $u(x)$ e $v(x)$ due qualsiasi integrali della (1) purchè linearmente indipendenti, $c_1$ e $c_2$ due ‘costanti arbitrarie’. Essendo $u(x)$ e $v(x)$ entrambi integrali della (1) sarà…
$u’’+(u’)/x+(1-nu^2/x^2)*u=0$
$v’’+(v’)/x+(1-nu^2/x^2)*v=0$ (3)
Se moltiplico la prima delle (3) per $v$, la seconda per $u$ e faccio la differenza ottengo…
$v*u’’+(v*u’)/x+(1-nu^2/x^2)*v*u-u*v’’-(u*v’)/x-(1-nu^2/x^2)*v*u=0$ (4)
… da cui con poca fatica si ottiene…
$x*(v*u’’-u*v’’)+u’*v-v’*u= d/dx [x(u’*v-v’*u)]=0$ (5)
Allora ragazzi, si è ottenuto una bella equazione differenziale che lega in qualche modo $u$ e $v$ e, cosa assai piacevole, è indipendente da $nu$… very good!… L’equazione (5) è assai facile da affrontare e questa è la soluzione…
$x(u’*v-u*v’)= c_2$ (6)
… con $c_2$ ovviamente ‘costante arbitraria’. Se dividiamo i due membri della (6) per $x*v^2$ otteniamo…
$(u’*v-u*v’)/v^2= d/dx (u/v)= c_2/(x*v^2)$ (7)
Questa è un’altra equazione differenziale la cui soluzione è…
$u/v= c_1+c_2*int dx/(x*v^2)$ (8)
Se ora poniamo $v= J_nu (x)$ otteniamo…
$u= c_1*J_nu (x) + c_2*J_nu(x) * int dx/(x*J_nu^2 (x))$ (9)
La soluzione generale della (1) sarà dunque della tipo…
$y(x)= c_1*J_nu (x) + c_2* Y_nu (x)$ (10)
… in cui $J_nu (x)$ è la funzione di Bessel del primo tipo di cui già abbiamo parlato e $Y_nu (x)$ è un integrale della (1) indipendente dal primo che chiameremo funzione di Bessel del secondo tipo. Dal confronto tra la (9) e la (10) si vede che è…
$Y_nu (x) = J_nu (x) * int dx/(x*J_nu^2 (x))$ (11)
Per ora mi fermo qui ragazzi… Una raccomandazione: non perdete le prossime puntate!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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