Alcune note sull'uniforme continuità

[Paolo902]

Buongiorno a tutti.

Sono consapevole che la questione che vi voglio sottoporre potrebbe sembrare capziosa, ma ci tengo ad avere le idee chiare e ad imparare per bene come destreggiarmi. L'argomento è la continuità uniforme (o forse più in generale, come imparare a maggiorare/minorare bene, cosa che credo essere importante in Analisi).

Consideriamo una funzione reale, $f:RR to RR$ definita da $f(x)=x/(x^2+1)$. Essa è continua in tutto il suo dominio di definizione; non solo, ma ammette l'asintoto orizzontale $y=0$ (per $x to +-oo$). Supponiamo di voler studiare l'uniforme continuità di $f$ in un qualunque intervallo $I$ di $RR$.

Allora, se $I=[a,b]$ (chiuso e limitato) $f$ è uniformemente continua per Heine-Cantor.
Se $I=(a,b)$ o $I=[a,b)$ o $I=(a,b]$, basta osservare che - in tutti e tre i casi - $I subseteq [a,b]$: ma su $[a,b]$ la $f$ è u.c. (sempre per H-C) da cui si deduce che $f$ è u.c. anche su questi intervalli.

Resta il caso $I=(-oo,a)$ e $I=(a,+oo)$ che si liquida facilmente con l'osservazione fatta sopra: infatti, l'asintoto orizzontale e la continuità semplice costituisce una condizione sufficiente per l'u.c.

Ok fin qui?

Adesso la mia domanda è questa: supponiamo di voler verificare l'u.c. mediante la definizione.
Fisso un $epsilon>0$ e voglio trovare un $delta_epsilon$ tale che $forall x,y in RR$ (<- questo è il "pezzo forte") $|x-y| |f(x)-f(y)| $|x/(x^2+1)-y/(y^2+1)| "con un po' di manipolazioni" => |x/(x^2+1)-y/(y^2+1)|<=|xy|/((x^2+1)(y^2+1))|x-y|$.

Ma adesso? Come faccio a maggiorare l'ultimo membro? Non ho condizioni su $x$ e $y$ (sono reali qualsiasi!), quindi come posso fare per trovare il $delta_epsilon$ buono?

Vi ringrazio in anticipo.

[j18eos]

Trova il massimo [tex]$M$[/tex] della funzione [tex]$\frac{|x|}{x^2+1}$[/tex] così maggiori ulteriormente, inoltre, essendo [tex]$|x-y|<\delta_{\epsilon}$[/tex] ottieni [tex]$\bigg|\frac{x}{1+x^2}-\frac{y}{1+y^2}\bigg|< M^2\delta_{\epsilon}\leq\epsilon\iff\delta_{\epsilon}\leq\frac{\epsilon}{M^2}$[/tex] quod erat demonstrandum(*).

§§§

(*) Come volevasi dimostrare.

[dissonance]

Aggiungo a quanto detto da j18eos: prova a rifarti la dimostrazione del teorema secondo cui

[tex]f[/tex] è Lipschitziana [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]f[/tex] è uniformemente continua

e rifletti sul rapporto tra costanti di Lipschitz e [tex]\delta[/tex] di continuità uniforme.

[Paolo902]

"j18eos":Trova il massimo [tex]$M$[/tex] della funzione [tex]$\frac{|x|}{x^2+1}$[/tex] così maggiori ulteriormente, inoltre, essendo [tex]$|x-y|<\delta_{\epsilon}$[/tex] ottieni [tex]$\bigg|\frac{x}{1+x^2}-\frac{y}{1+y^2}\bigg|< M^2\delta_{\epsilon}\leq\epsilon\iff\delta_{\epsilon}\leq\frac{\epsilon}{M^2}$[/tex] quid erat demonstrandum(*).

Hai ragione, è vero; grazie mille, non ci avevo pensato.

P.S.

"j18eos": quid erat demonstrandum

Quod...

[Paolo902]

Scusa, dissonance, non avevo visto il tuo post.

"dissonance":Aggiungo a quanto detto da j18eos: prova a rifarti la dimostrazione del teorema secondo cui

[tex]f[/tex] è Lipschitziana [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]f[/tex] è uniformemente continua

e rifletti sul rapporto tra costanti di Lipschitz e [tex]\delta[/tex] di continuità uniforme.

Hai ragione, la mia funzione non è solo u.c ma è anche lipschitziana! E infatti una costante di Lipschitz valida è proprio $M^2$ (nelle notazioni di j18eos): quindi il $delta_epsilon$ buono è dato da $epsilon/M^2$.

La funzione è derivabile quindi mi sarebbe bastato far vedere che la derivata è limitata ed ero a posto.

Aggiungo qualche tassello alla discussione. Ho trovato un esercizio che mi è parso carino e simpatico, neanche troppo complesso.

Esercizio. Se $f:RR to RR$ è continua e periodica di periodo $T>0$ allora è u.c.

Dimostrazione. Sul compatto $[0,2T]$ l'u.c. è garantita da Heine-Cantor, quindi
$forall epsilon>0$, $EE delta >0$ tale che per ogni $x,y$ in $[0,2T]$ si abbia $|x-y||f(x)-f(y)|
A questo punto, prendiamo $x',y'>T$ con $|x'-y'| y' kT<=x'<=y'

Adesso però mi chiedo: una funzione periodica e continua su tutto $RR$ è anche lipschitziana? Ci devo riflettere un attimo.
Grazie per le vostre osservazioni.

P.S: ho editato la dimostrazione, perchè mi sono reso conto che quella precedente conteneva uno strafalcione (e neanche tanto piccolo...). Spero questa sia ok.

Cita

Segnala

[ViciousGoblin]

"Paolo90":
Adesso però mi chiedo: una funzione periodica e continua su tutto $RR$ è anche lipschitziana?

EDIT

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ per $-1\leq x\leq 1$ e replicata in modo da essere periodica di periodo 2

[j18eos]

Prego Paolo, di nulla.

Sull'ultima questione non mi viene in mente nessun esempio! Ci penserò.

P.S.: Non ho mai studiato latino per cui vado a memoria.

@dissonance: mi hai preceduto sulla lipschitzianità!

[Rigel1]

"Paolo90":
Adesso però mi chiedo: una funzione periodica e continua su tutto $RR$ è anche lipschitziana?

Non è detto.
Prendi la funzione definita su $[-\pi, \pi]$ da $f(x) = \sqrt{|x|}$ e poi estesa con periodicità su tutto $\mathbb{R}$.

[Paolo902]

Rieccomi qui: vi ringrazio per i vostri post. Non sono controesempi proprio banali quelli che mi proponete, è una questione interessante.
Io ci ho pensato un po' oggi pomeriggio, poi ho avuto un impegno e non ho più avuto tempo.

In ogni caso, abbiamo accertato che le funzioni periodiche (continue) non sono tutte lipschitziane. Vi propongo ora un altro esercizio, su cui ho ben poche idee.

Esercizio. Data una funzione $f$ periodica di periodo $T>0$, se $f(x^2)$ è u.c., dimostrare che $f(x)="costante"$.

Francamente ho ben poche idee: ho scritto la definizione di u.c. per $f(x^2)$ ma da lì non so come andare avanti. Anche perchè che cosa devo provare esattamente? Una funzione costante è periodica di periodo?!?

Grazie.

[dissonance]

"Paolo90":Una funzione costante è periodica di periodo?!?

Qualsiasi $T>0$.

[Paolo902]

Capito, grazie. Allora potrei far vedere che il $T$ può essere arbitrario, no?
Se io provo che $f(x)=f(x+T)$ per ogni $T>0$, dovrei essere a posto...

[Rigel1]

Suggerimento:
supponi per assurdo che $f$ non sia costante, cioè che esistano $a$, $b$ t.c.
$\epsilon:= f(a) - f(b) > 0$.
Poni $x_n := \sqrt{a + nT}$, $y_n := \sqrt{b+nT}$, $n\in\mathbb{N}$.
Avrai che
$f(x_n^2)-f(y_n^2) = f(a+NT) - f(b+nT) = f(a) - f(b) = \epsilon$.
Adesso devi solo vedere cosa succede alla differenza $x_n-y_n$ e trarre le tue conclusioni.

[Paolo902]

Ahah, forse ci sono. Rigel, grazie per l'hint validissimo. Vediamo se ho capito tutto.

Detto male, vogliamo arrivare a negare l'u.c. di $f(x^2)$. L'idea è quella di costruire due successioni di reali tali che la loro distanza sia "abbastanza piccola" (anzi, arbitrariamente piccola) ma che le immagini dei loro quadrati mediante la $f$ restino "lontane" almeno $epsilon$.

E in effetti, nelle tue ipotesi, preso un qualunque $delta:=1/n$ con $n in NN -{0}$, abbiamo che $EE epsilon >0$ per cui esistono due successioni $x_n$ e $y_n$ t.c. $|x_n-y_n|<1/n=delta$ ma $|f(x_n^2)-f(y_n^2)|>=epsilon$ (che è esattamente la negazione del predicato di u.c. di $f(x^2)$). Ciò è vero perchè la differenza tra le due succesioni è infinitesima, per $n to +oo$: infatti, $x_n-y_n=sqrt(a+nT)-sqrt(b+nT)=(a-b)/(sqrt(a+nT)+sqrt(b+nT)) to 0$ per $n to +oo$.

Ok? Che figo

Posso chiederti una cosa? Come ti è venuta l'idea delle successioni (va bene, la dimostrazione di Heine-Cantor è un giochino simile a questo, ma non mi sarebbe mai più venuto in mente di crearmi due successioni)?

Grazie mille.

[Rigel1]

OK

Questa cosa delle due successioni si usa abbastanza spesso quando si vuole negare l'uniforme continuità (non è un'idea particolarmente originale).