Alcune domande sugli Sviluppi di Taylor
Salve spero di essere nella sezione giusta!! Allora mi chiedevo se qualcuno potesse darmi delucidazione sugli sviluppi di taylor in generale.
1)Per esempio io nn riesco a capire cosa da l' ordine ad un polinomio di taylor , se il suo grado o il numero di derivate
2)Come bisogna procedere se c'è un prodotto di funzioni e si chiede di determinarne lo sviluppo all' ordine per esempio 4?
Della funzione (cosx)(sinhx) determinare lo sviluppo di Mc laurin all' ordine 12. Ecco questo come si fa? Cioè sviluppo cosx e sinhx all' ordine 6 in modo che poi mi esce ordine 12 dalla loro moltiplicazione?
3) Che uso faccio degli o-piccolo negli sviluppi? Cioè servono a qualcosa o sono solo una finezza?
Scusate la lunghezza ma sono una testa dura io
1)Per esempio io nn riesco a capire cosa da l' ordine ad un polinomio di taylor , se il suo grado o il numero di derivate
2)Come bisogna procedere se c'è un prodotto di funzioni e si chiede di determinarne lo sviluppo all' ordine per esempio 4?
Della funzione (cosx)(sinhx) determinare lo sviluppo di Mc laurin all' ordine 12. Ecco questo come si fa? Cioè sviluppo cosx e sinhx all' ordine 6 in modo che poi mi esce ordine 12 dalla loro moltiplicazione?
3) Che uso faccio degli o-piccolo negli sviluppi? Cioè servono a qualcosa o sono solo una finezza?
Scusate la lunghezza ma sono una testa dura io
Risposte
Andiamo nessuno sa dirmi niente? Possibile che nessuno sappia qualcosa?? 
1 - il grado
2 - non esattamente. Se hai $(ax+bx^3+cx^5+dx^7...)*(a'+b'x^2+c'x^4+d'x^6...)$ puoi avere solo lo sviluppo fino al VII ordine
$(aa'x+(a'b+ab')x^3+(a'b+ac'+bb')x^5+(ad'+bc'+cb'+da')x^7...$ i termini di ordine superiore non possono essere calcolati esattamente perché mancano alcuni coefficienti dei generatori.
3 - di solito non servono, ma se per caso i termini si elidono devi aggiungere almeno un ulteriore termine allo sviluppo con un o più basso
2 - non esattamente. Se hai $(ax+bx^3+cx^5+dx^7...)*(a'+b'x^2+c'x^4+d'x^6...)$ puoi avere solo lo sviluppo fino al VII ordine
$(aa'x+(a'b+ab')x^3+(a'b+ac'+bb')x^5+(ad'+bc'+cb'+da')x^7...$ i termini di ordine superiore non possono essere calcolati esattamente perché mancano alcuni coefficienti dei generatori.
3 - di solito non servono, ma se per caso i termini si elidono devi aggiungere almeno un ulteriore termine allo sviluppo con un o più basso
2 - non esattamente. Se hai $(ax+bx^3+cx^5+dx^7...)*(a'+b'x^2+c'x^4+d'x^6...)$ puoi avere solo lo sviluppo fino al VII ordine
$(aa'x+(a'b+ab')x^3+(a'b+ac'+bb')x^5+(ad'+bc'+cb'+da')x^7...$ i termini di ordine superiore non possono essere calcolati esattamente perché mancano alcuni coefficienti dei generatori.
ecco questa cosa non l' ho capita molto bene..cioè non riesco a capire per quale motivo si può ottenere solo lo sviluppo all' ordine VII..cioè intendi che visto che un termine con $x^6$ non c'è nel primo fattore di questa moltiplicazione?
Ecco un esempio : $-xcosx$ svilupparlo al terzo ordine.. io l' ho fatto così ma non so se è giusto:
$-x[1-1/2(x^2)+o[x^2] = -x +1/2(x^3)+ o[x^3]$ é così che dovrebbe venire? Si può fare la moltiplicazione di $-x$ per $o[x^2]$?
Grazie per l' aiuto !!!
$(aa'x+(a'b+ab')x^3+(a'b+ac'+bb')x^5+(ad'+bc'+cb'+da')x^7...$ i termini di ordine superiore non possono essere calcolati esattamente perché mancano alcuni coefficienti dei generatori.
ecco questa cosa non l' ho capita molto bene..cioè non riesco a capire per quale motivo si può ottenere solo lo sviluppo all' ordine VII..cioè intendi che visto che un termine con $x^6$ non c'è nel primo fattore di questa moltiplicazione?
Ecco un esempio : $-xcosx$ svilupparlo al terzo ordine.. io l' ho fatto così ma non so se è giusto:
$-x[1-1/2(x^2)+o[x^2] = -x +1/2(x^3)+ o[x^3]$ é così che dovrebbe venire? Si può fare la moltiplicazione di $-x$ per $o[x^2]$?
Grazie per l' aiuto !!!
"SenzaCera":
Ecco un esempio : $-xcosx$ svilupparlo al terzo ordine.. io l' ho fatto così ma non so se è giusto:
$-x[1-1/2(x^2)+o[x^2] = -x +1/2(x^3)+ o[x^3]$ é così che dovrebbe venire? Si può fare la moltiplicazione di $-x$ per $o[x^2]$?
Grazie per l' aiuto !!!
l'esempio che hai riportato è corretto perché il primo fattore è un monomio, ma se tu avessi dovuto sviluppare $sin x * cos x$ al terzo ordine veniva
$[x-(x^3)/(3!)+o[x^3]]*[1-1/2(x^2)+o[x^2] ]= x -1/2(x^3)-1/6x^3+ o[x^3]$ il termine successivo se calcolato con questi sviluppi viene $1/12x^5$, ma se volessi uno sviluppo di ordine più alto dovrei procedere così
$[x-(x^3)/(3!)+x^5/(5!)+o[x^5]]*[1-1/2(x^2)+1/(4!) x^4+o[x^4] ]=$
$= [x-(x^3)/(3!)+x^5/(5!)+o[x^5]]*1-[x-(x^3)/(3!)+x^5/(5!)+o[x^5]]*(-x^2/2)+[x-(x^3)/(3!)+x^5/(5!)+o[x^5]]*1/(4!) x^4+[x-(x^3)/(3!)+x^5/(5!)+o[x^5]]*o[x^4] =$
dal primo fattore si ottiene un ordine 5, dal secondo un ordine 7, dal terzo 9 e dall'ultimo di nuovo 5, quindi si eliminano tutte le potenze di grado superiore a 5, che vengono assorbite dall' $o[x^5]$ e l'ordine da considerare è quello più basso.
Spero che ci venga in aiuto qualcuno che mastica Taylor meglio di me, forse riesce a spiegartelo meglio, non è che negli ultimi 20 anni io abbia avuto moltissime occasioni di usarlo, quindi sono un imbranata nella sua spiegazione.
Ultima domanda e poi smetto di scocciare!!!:D Il fatto che le potenze di grado più alto del 5 vengono assorbite è dovuto al fatto che si è deciso di sviluppare l' ordine V oppure perchè ci sono più fattori con esponente 5?? (sembra una domanda stupida ma io per sicurezza la chiedo per vedere se ho capito) Graqzie per la disponibilità!!
Ripesco questa discussione finita nel doimenticatoio se mi posso permettere, perchè mi interesserebbe approfondire la questione, dato che nemmeno a me è tanto chiara.
Nei due casi del resto di Peano e di Lagrange, come si gestisce la cosa?
Per esempio, mettiamo che ho appunto $xe^(x^2)$ lo sviluppo al quinto ordine.
Quindi scrivo prima $e^x=1+x+(x^2)/2+omega(x)$ quindi $e^(x^2 )=1+x^2+(x^4)/2+omega(x^2)$ e quindi infine $xe^(x^2)=x+x^3+(x^5)/2+xomega(x^2)$ quindi ora è del quinto ordine giusto? ma come mai nel moi resto di peano figura comunque un $x^2$ mentre a voi come rado avete l'ordine dello sviluppo? sbaglio io? se sì dove e come?
Nei due casi del resto di Peano e di Lagrange, come si gestisce la cosa?
Per esempio, mettiamo che ho appunto $xe^(x^2)$ lo sviluppo al quinto ordine.
Quindi scrivo prima $e^x=1+x+(x^2)/2+omega(x)$ quindi $e^(x^2 )=1+x^2+(x^4)/2+omega(x^2)$ e quindi infine $xe^(x^2)=x+x^3+(x^5)/2+xomega(x^2)$ quindi ora è del quinto ordine giusto? ma come mai nel moi resto di peano figura comunque un $x^2$ mentre a voi come rado avete l'ordine dello sviluppo? sbaglio io? se sì dove e come?
"antani":
Ripesco questa discussione finita nel doimenticatoio se mi posso permettere, perchè mi interesserebbe approfondire la questione, dato che nemmeno a me è tanto chiara.
Nei due casi del resto di Peano e di Lagrange, come si gestisce la cosa?
Per esempio, mettiamo che ho appunto $xe^(x^2)$ lo sviluppo al quinto ordine.
Quindi scrivo prima $e^x=1+x+(x^2)/2+omega(x)$ quindi $e^(x^2 )=1+x^2+(x^4)/2+omega(x^2)$ e quindi infine $xe^(x^2)=x+x^3+(x^5)/2+xomega(x^2)$ quindi ora è del quinto ordine giusto? ma come mai nel moi resto di peano figura comunque un $x^2$ mentre a voi come rado avete l'ordine dello sviluppo? sbaglio io? se sì dove e come?
ALLora io finalmente ho capito tutto e ti posso dire che in realtà è il grado dell' o-piccolo a dare l' ordine al polinomio..quello che dici tu manco si potrebbe scrivere perchè se c'è un $o(x^2)$ le potenze cn grado superiore al 2 vengono inglobate dall' o-piccolo...lo sviluppo al quinto ordine di $xe^x^(2)è quindi: $x+x^3+1/2(x^5)+o(x^5)$
Il ragionamento è il seguente: sviluppi $e^x$ all' ordine 2, ma essendo elevato alla $x^2$ invece che solo per $x$, il termine $1/2(x^2)$ diventa $1/2(x^4)$(per sostituzione)..e quindi viene $x(1+x^2+1/2x^4+o(x^4))$...moltiplicando per x ti viene un $o(x^5)$ e quindi hai trovato lo sviluppo all' ordine 5!!!!
Il tuo errore sta nel fatto che oltre all' espressione dello sviluppo che hai sostituito con $x^2$ lo devi sostituire anche nell' o-piccolo che quindi non è $o(x^2)$ ma $o(x^4)$
Spero di essere stato chiaro..per qualsiasi cosa fammi sapere!! Sarò felice di aiutarti!
Eh ma non lo so perchè tu l'o piccolo lo intendi come infinitesimo, e allora dici che è di ordine maggiore di 4, nvece io con $omega$ intendo il resto di Peano, che tra parentesi mette l'argomento della funzione ed è appunto un infinitesimo di ordine maggiore dell'ultimo dello sviluppo...
La mia domanda, esprimendola meglio, è per esempio come faccio a sviluppare $e^xcosx$ al 7mo ordine col resto di Peano.
La mia domanda, esprimendola meglio, è per esempio come faccio a sviluppare $e^xcosx$ al 7mo ordine col resto di Peano.
QUello che uso io si chiama resto di peano come il tuo...credo che solo la simbologia sia diversa ma il significato è lo stesso.
Cmq certo che tra parentesi metti l' argomento della funzione..
Lo sviluupo che cerchi è il seguente: $(1+x+1/2x^2+...+1/7!x^7+o(x^7))(1-1/2x^2+...-1/6!x^6 +o(x^7)$
Il primo fattore è lo sviluppo di $e^x$ e il secondo di $cosx$..ti faccio notare che è un caso che bisogna svilupparli tutti e due al settimo ordine per avere un polinomio di ordine 7 dalla loro moltiplicazione..il motivo sta nel fatto che avendo nei propri sviluppi cm primo termine 1, per avere cm o-piccolo minore $o(x^7)$, bisong asvilupparli tutti e due al 7 ordine..
Cmq certo che tra parentesi metti l' argomento della funzione..
Lo sviluupo che cerchi è il seguente: $(1+x+1/2x^2+...+1/7!x^7+o(x^7))(1-1/2x^2+...-1/6!x^6 +o(x^7)$
Il primo fattore è lo sviluppo di $e^x$ e il secondo di $cosx$..ti faccio notare che è un caso che bisogna svilupparli tutti e due al settimo ordine per avere un polinomio di ordine 7 dalla loro moltiplicazione..il motivo sta nel fatto che avendo nei propri sviluppi cm primo termine 1, per avere cm o-piccolo minore $o(x^7)$, bisong asvilupparli tutti e due al 7 ordine..
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