Alcune domande semplici del tipo SI/NO (già risposte e quindi solo da verivficare)
Ciao, spero che possiate essere i miei salvatori.... ho da proporvi una sfliza di domande, ma non preoccupatevi sono delle scemenze, è per vedere se sono giuste...
1)$e^lnx=x$ Per ogni x appartenente a $R$? No, solo per $x>0$
2)$\sqrt(x^2 +1)>x$ per ogni $x$? SI
3)Risolvere l'equazione $cos^2(lnx)+sin^2(lnx)=2$ Nessuna soluzione
4) $(sin^2 x)/x^2$ è continua? Si
5)$f(x)$ è continua allora $f'(x)$ è continua? Si
6)La funzione segno è continua in $R$? No
7)La funzione $f(x)=|x|$ è invertibile in $R$? Si
8)La funzione $\sqrt(x^2)$ è derivabile in $R$? Si
9)La funzione $1/(x^2 +1)$ è limitata in $R$? No
10)La funzione segno è integrabile in$(-1;1)$? No
11)la funzione $(e^x -1)/x$ è integrabile tra$(-1;1)$? Si
12)Se $f(x)$ è una funzione pari, definita in $R$ possiede max o min in 0? Si
13) $y' +sinx=cosx$ è neccessariamente definita su tutto $R$? No
Grazie10000000000000000000000000
1)$e^lnx=x$ Per ogni x appartenente a $R$? No, solo per $x>0$
2)$\sqrt(x^2 +1)>x$ per ogni $x$? SI
3)Risolvere l'equazione $cos^2(lnx)+sin^2(lnx)=2$ Nessuna soluzione
4) $(sin^2 x)/x^2$ è continua? Si
5)$f(x)$ è continua allora $f'(x)$ è continua? Si
6)La funzione segno è continua in $R$? No
7)La funzione $f(x)=|x|$ è invertibile in $R$? Si
8)La funzione $\sqrt(x^2)$ è derivabile in $R$? Si
9)La funzione $1/(x^2 +1)$ è limitata in $R$? No
10)La funzione segno è integrabile in$(-1;1)$? No
11)la funzione $(e^x -1)/x$ è integrabile tra$(-1;1)$? Si
12)Se $f(x)$ è una funzione pari, definita in $R$ possiede max o min in 0? Si
13) $y' +sinx=cosx$ è neccessariamente definita su tutto $R$? No
Grazie10000000000000000000000000
Risposte
7) $ f(x)=|x| $ non e' invertibile in $ mathbb(R) $ in quanto ne' iniettiva ne' suriettiva...
9) $ 0< 1/(x^2+1) <= 1 $ quindi e' limitata.
10) $ sgn(x) $ e' limitata e possiede un numero finito (uno solo $ x=0 $ ) di punti di discontinuita' quindi soddisfa le ipotesi di un teorema che ne garantisce l'integrabilita'
12) f puo' essere $ f(x)=c $ quindi non ha punti $ x_0 $ per cui $ f(x_0)
9) $ 0< 1/(x^2+1) <= 1 $ quindi e' limitata.
10) $ sgn(x) $ e' limitata e possiede un numero finito (uno solo $ x=0 $ ) di punti di discontinuita' quindi soddisfa le ipotesi di un teorema che ne garantisce l'integrabilita'
12) f puo' essere $ f(x)=c $ quindi non ha punti $ x_0 $ per cui $ f(x_0)
4) La funzione \(f(x)=\sin^2(x)/x^2\) non è definita in $x=0$ e non può essere continua dove non è definita. Tuttavia, più informalmente parlando si usa a volte chiamare con lo stesso nome di una funzione, in questo caso \(\sin^2(x)/x^2\), il suo prolungamento per continuità e questa nostra \(f(x)\) è prolungabile per continuità in 0 perché \(\lim_{x\to 0}f(x)=1\). Se fosse obbligatorio rispondere sì o no, sarei in crisi, a meno che non sapressi che tipo di terminologia e di informalità usi il professore.
5) No, no, vedi per esempio la funzione della domanda seguente...
8) ...che, la derivata, non la possiede neanche in $x=0$, dato che \(\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{\sqrt{(h+0)^2}-\sqrt{0^2}}{h}=\pm 1\).
11) Come alla 1), non può essere integrabile dove non è neanche definita, cioè in un intervallo contenente lo 0. Tuttavia è prolungabile con continuità in tale punto e in tal caso l'integrale, naturalmente, converge.
12) Mi scuso con ostrogoto, ma sono convinto che la risposta giusta sia sì [EDIT: invece è no]. Una funzione costante ha massimo, e anche minimo, ovunque nel domionio.
Ciao!
5) No, no, vedi per esempio la funzione della domanda seguente...
8) ...che, la derivata, non la possiede neanche in $x=0$, dato che \(\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{\sqrt{(h+0)^2}-\sqrt{0^2}}{h}=\pm 1\).
11) Come alla 1), non può essere integrabile dove non è neanche definita, cioè in un intervallo contenente lo 0. Tuttavia è prolungabile con continuità in tale punto e in tal caso l'integrale, naturalmente, converge.
12) Mi scuso con ostrogoto, ma sono convinto che la risposta giusta sia sì [EDIT: invece è no]. Una funzione costante ha massimo, e anche minimo, ovunque nel domionio.
Ciao!
@ davidegenova
Nel 12) si parla di funzione pari, non costante. Io so solo che $f(-x)=f(x)$, ma non so nulla su massimi e minimi, anzi so che saranno anch'essi simmetrici, ma non per forza in $x=0$
Nel 12) si parla di funzione pari, non costante. Io so solo che $f(-x)=f(x)$, ma non so nulla su massimi e minimi, anzi so che saranno anch'essi simmetrici, ma non per forza in $x=0$
Mi riferivo alla risposta di ostrogoto, su cui sono in disaccordo perché, se \(f(x)\equiv c\), allora ogni punto della retta reale è di massimo, e anche di minimo, per $f$. Non di massimo stretto o di minimo stretto, ma non mi sembra che la domanda chieda quello. È importante perché esistono teoremi su massimi o minimi senza che siano stretti. [EDIT: la parte seguente è scorretta]Ho pensato che l'affermazione sia corretta perché, se esiste un intervallo del tipo \([-\delta,\delta]\) in cui la $f$ è costante, allora essa ha in 0, banalmente, un massimo e anche un minimo, come detto sopra. Se invece \(\forall\delta>0\) la funzione non è mai costante in \([-\delta,\delta]\), da \(f(-\delta)\lessgtr f(0)\) segue \(f(\delta)\lessgtr f(0)\), cioè 0 è di minimo, o rispettivamente massimo (stretti). Spero di non dire scemenze. [invece le ho dette. Ringrazio ostrogoto per aver notato l'errore]
12) Supponiamo $ f(x)={ ( 1 \" "se |x|inmathbb(R) ),( 0\" "se|x|inmathbb(Q) ):} $
Provate ad affermare che ha massimo o minimo: in ogni intorno di 0 cadono sia punti razionali che irrazionali, quindi in ogni intorno ho punti in cui $ f(x)=0 $ et $ f(x)=1 $
Provate ad affermare che ha massimo o minimo: in ogni intorno di 0 cadono sia punti razionali che irrazionali, quindi in ogni intorno ho punti in cui $ f(x)=0 $ et $ f(x)=1 $
Hai proprio ragione a dire che una funzione pari non ha necessariamente un estremo nell'origine. Non vale neanche se $f$ è continua: cfr.\[f(x) = \begin{cases} x\sin\frac{\pi}{x},&x\ne 0\\ 0, & x=0\end{cases}\]che è continua, ma non ha né massimo né minimo in 0. Tuttavia nattenzione che la funzione \[f(x) = \begin{cases} 1,&|x|\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\\ 0, & |x|\in\mathbb{Q}\end{cases}\]ha un minimo in $x=0$ perché per ogni intervallo $I$ contenente lo 0 si ha \(\forall x\in I\quad f(x)\geq f(0)=0\) dato che \(f(I)=\{0,1\}\). Ciao a tutti!
un buon controesempio al 12) può essere questo:
$f:RR-> [-1,1]$ definita da $f(x)=cos(x)$ per ogni $x!=0$ e $f(0)=0$.
E' una funzione definita in $RR$, è pari (infatti sappiamo che $f(-x)=cos(-x)=cos(x)=f(x)$),
ma non ha massimo nè minimo in $x=0$, dato che $f(0)=0$ e, ad esempio, $f(pi) = -1$ e $f(2pi)=1$
Dunque la risposta è No
$f:RR-> [-1,1]$ definita da $f(x)=cos(x)$ per ogni $x!=0$ e $f(0)=0$.
E' una funzione definita in $RR$, è pari (infatti sappiamo che $f(-x)=cos(-x)=cos(x)=f(x)$),
ma non ha massimo nè minimo in $x=0$, dato che $f(0)=0$ e, ad esempio, $f(pi) = -1$ e $f(2pi)=1$
Dunque la risposta è No
riguardo alla differenziale $y'+cosx=sinx$ avete detto che è definita su tutto $R$, ma visto che nella domanda c'è scritto neccessariamente uno non potrebbe essere portato a credere che un risultato del genere si possa ottenere anche con in $C$?
A proposito grazie davvero per la rapidità e la chiarezza nelle risposte.
A proposito grazie davvero per la rapidità e la chiarezza nelle risposte.
Per quanto riguarda la 12, ho fatto confusione perchè l'avevo interpretata come "potrebbe avere max o min" e quindi ho pensato a un parabola del tipo $f(x)=x^2$ che ha min in 0.
Vi segnalo la 5), che mi sembra che vi si sfuggita: 'se $f(x)$ è continua, allora è continua anche $f'(x)$?
NO! Un controesempio è sempre $|x|$, che non è derivabile in $0$, in $0$ la derivata 'salta' da $-1$, per $x<0$, a $1$, per $x>0$.
NO! Un controesempio è sempre $|x|$, che non è derivabile in $0$, in $0$ la derivata 'salta' da $-1$, per $x<0$, a $1$, per $x>0$.
"ostrogoto":
12) Supponiamo $ f(x)={ ( 1 \" "se |x|inmathbb(R) ),( 0\" "se|x|inmathbb(Q) ):} $
Provate ad affermare che ha massimo o minimo: in ogni intorno di 0 cadono sia punti razionali che irrazionali, quindi in ogni intorno ho punti in cui $ f(x)=0 $ et $ f(x)=1 $
Scusami ostrogoto, non esisterà min locale ma min assoluto esiste, eccome ...
Cordialmente, Alex
Vero, ma io mi riferivo al problema del minimo in $ x=0 $, "in ogni intorno di 0 cadono..."
Se vogliamo che in $ x=0 $ non ci sia neppure un minimo che sia minimo con $ f(0)<=f(x) $ o un massimo che sia massimo assoluto:
$ f(x)={ ( 1" "se" "|x|inmathbb(Q)" "et" " x!=0 ),( -1" "se" "|x|inmathbb(R)" "et" " x!=0 ),( 1/2" "se" "x=0 ):} $
stavolta dovrebbe essere inoppugnabile...
Se vogliamo che in $ x=0 $ non ci sia neppure un minimo che sia minimo con $ f(0)<=f(x) $ o un massimo che sia massimo assoluto:
$ f(x)={ ( 1" "se" "|x|inmathbb(Q)" "et" " x!=0 ),( -1" "se" "|x|inmathbb(R)" "et" " x!=0 ),( 1/2" "se" "x=0 ):} $
stavolta dovrebbe essere inoppugnabile...
Beh, ma in $0$ un minimo c'era ... ... e tu eri stato perentorio ... 
Adesso va meglio ...
... e tu eri stato perentorio ... Adesso va meglio ...
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