Al variare di $\alpha$ trova il valore del limite
Al variare di $\alpha$ trova il valore del limite:
$\lim_{x->oo} (x^{\alpha}(e^{-x} - x)(x^2 \log (1 + 1/x^2) - \cos (1/x)))$
Allora siccome l'esponente di $e^{-x}$ tende a $ + oo$ non si può usare taylor.
$\cos (1/x) = 1 - 1/(2x^2) + o(1/x^2)$
$\log (1 + 1/x^2) = 1 / x^2 + o(1/x^2)$
Quindi $\lim_{x->oo} (x^{\alpha}(e^{-x} - x)(x^2 \log (1 + 1/x^2) - \cos (1/x)))$ $=$ $x^{\alpha}(e^{-x}-x)(1 / (2x^2) + o(1/x^2))$ ma ora? $e^{-x} = o(x)$ ?
Grazie
$\lim_{x->oo} (x^{\alpha}(e^{-x} - x)(x^2 \log (1 + 1/x^2) - \cos (1/x)))$
Allora siccome l'esponente di $e^{-x}$ tende a $ + oo$ non si può usare taylor.
$\cos (1/x) = 1 - 1/(2x^2) + o(1/x^2)$
$\log (1 + 1/x^2) = 1 / x^2 + o(1/x^2)$
Quindi $\lim_{x->oo} (x^{\alpha}(e^{-x} - x)(x^2 \log (1 + 1/x^2) - \cos (1/x)))$ $=$ $x^{\alpha}(e^{-x}-x)(1 / (2x^2) + o(1/x^2))$ ma ora? $e^{-x} = o(x)$ ?
Grazie
Risposte
Quando fai un limite di solito la richiesta è che l'o-piccolo venga si trascritto ma solo nello sviluppo di Taylor e non nel limite, altrimenti rischi di confonderti le idee. Poi io fossi in te farei lo sviluppo anche dell'esponenziale in quanto tende a zero. Non trascrivere l'o-piccolo e concludi i conti...vedrai che ti torna.
Durante la scrittura della domanda mi è venuto in mente:
$e^{-x} = o(x) $ Quindi in totale abbiamo $\lim_{x->oo} (x^{\alpha} (-x)(1 / (2x^2))) = \lim_{x->oo} (x^{\alpha}(- 1 / (2x)))$
@andreabs85
non l'ho fatto lo sviluppo, perchè da quello che ricordo si può fare se in $e^{f(x)}$ la $f(x) -> 0$ mentre qui tende a $- oo$ no?
$e^{-x} = o(x) $ Quindi in totale abbiamo $\lim_{x->oo} (x^{\alpha} (-x)(1 / (2x^2))) = \lim_{x->oo} (x^{\alpha}(- 1 / (2x)))$
@andreabs85
non l'ho fatto lo sviluppo, perchè da quello che ricordo si può fare se in $e^{f(x)}$ la $f(x) -> 0$ mentre qui tende a $- oo$ no?
Si hai ragione..mi sono confuso io! Tende però a zero, quindi lo puoi togliere. Adesso sai continuare o ti serve aiuto?
Se ciò che ho scritto fosse corretto ho:
$\lim_{x->oo} (-1 /(2x^{1- \alpha}))$
Quindi se $\alpha = 1 $ il limite viene $-1/2$
Se $\alpha < 0 $ il limite è $0$
Se $\alpha > 0 $ il limite viene $- oo$ ?
Grazie
@andreabs85 sapessi quante volte mi confondo io!
$\lim_{x->oo} (-1 /(2x^{1- \alpha}))$
Quindi se $\alpha = 1 $ il limite viene $-1/2$
Se $\alpha < 0 $ il limite è $0$
Se $\alpha > 0 $ il limite viene $- oo$ ?
Grazie
@andreabs85 sapessi quante volte mi confondo io!
Sei alle prese con l'esame di analisi 1? Che facoltà frequenti?
Si esatto sto al primo anno di Ingegneria a tor vergata! 
Te invece?
ps l'esercizio quindi è corretto?
Te invece?ps l'esercizio quindi è corretto?
Non ho guardato lo svolgimento. Il ragionamento è giusto (non hai i risultati?). Io sono al secondo anno di Ingegneria Civile a Brescia...e quindi alle prese con l'esame di Analisi 2 
Però vorrei passare a Milano alla facoltà di Ingegneria Matematica, dato che mi piace abbastanza!
Però vorrei passare a Milano alla facoltà di Ingegneria Matematica, dato che mi piace abbastanza!
Anche io sono iscritto a Ingegneria civile! Ingegneria matematica l'ho sentita anche qui a Roma, ma non so di che si tratta precisamente. Adesso che ho controllato i risultati, questi dicono che se $\alpha = 3 $ il limite è $- 7 / 24$ ecc ecc mi sembra strano!
Allora...con gli sviluppi di Taylor è sempre un casino. Devi sviluppare il coseno per un altro ordine in modo da avere $-\frac{1}{24x^4}$ ..per il logaritmo capisco un pò meno il procedimento, però io ho provato a pensarla così: sviluppi il logaritmo fino al quarto ordine, in modo da avere un $\frac{1}{4x^8}$ una volta svolti i passaggi ti resta di mezzo un $x^3$ in un denominatore. Ok, ora in teoria hai il $-\frac{7}{24}$ c'è un pò da aggiustare ma non so ancora come!
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