Aiuto(studio punti critici di una funzione 2 variabili)
Salve ragazzi vorrei un aiuto con un esercizio più che un aiuto vorrei una spiegazione....ho iniziato a prenderci un po la mano ma appena ho incontrato questo esercizio dopo svariate capocciate sul quaderno mi sono arreso e sono andato a vedere la soluzione ( 
) solo che il mio quoziente intellettivo è andato a farsi benedire( 
) e non capisco neanche quella 
(o almeno i primi due passaggi)
Dunque:l'esercizio è questo
$ f(x,y)=(x+y-3)e^(xy) $ ho provato a fare le derivate parziali(sbagliate)e tutto il resto per conto mio ma mi sono bloccato al sistema comunque il passaggio sul libro è riportato con:
$ Df(x,y)=(e^(xy)(x+y-3)y+e^(xy),e^(xy)(x+y-3)x+e^(xy)) $ e gia qui non riesco a capire come si ha derivato(nel senso il ragionamento)io ho provato a immaginarlo come prodotto di 2 funzioni ma non mi veniva così(anzi non mi veniva proprio)
e il secondo passaggio (ma questo è più un mio dubbio amletico)il sistema viene:
$ { ( y^2+xy-3y+1=0 ),( x^2+xy-3x+1=0 ):} $
perchè gli $e$ sono stati scritti come 1 nel senso è una cosa che si può fare cosi tranquillamente?
) solo che il mio quoziente intellettivo è andato a farsi benedire( ) e non capisco neanche quella (o almeno i primi due passaggi)Dunque:l'esercizio è questo
$ f(x,y)=(x+y-3)e^(xy) $ ho provato a fare le derivate parziali(sbagliate)e tutto il resto per conto mio ma mi sono bloccato al sistema comunque il passaggio sul libro è riportato con:
$ Df(x,y)=(e^(xy)(x+y-3)y+e^(xy),e^(xy)(x+y-3)x+e^(xy)) $ e gia qui non riesco a capire come si ha derivato(nel senso il ragionamento)io ho provato a immaginarlo come prodotto di 2 funzioni ma non mi veniva così(anzi non mi veniva proprio)
e il secondo passaggio (ma questo è più un mio dubbio amletico)il sistema viene:
$ { ( y^2+xy-3y+1=0 ),( x^2+xy-3x+1=0 ):} $
perchè gli $e$ sono stati scritti come 1 nel senso è una cosa che si può fare cosi tranquillamente?
Risposte
Per quanto riguarda il primo passaggio: prova a svolgere il prodotto $ (x+y-3)e^(xy) $ moltiplicando membro a membro. Poi fai la derivata rispetto a x e quella rispetto a y.
Per il secondo passaggio: ha raccolto $ e^(xy) $ e ha posto uguale a 0 ( $ e^(xy) $ non si annulla mai, quindi ha diviso tutto per quella quantità ). Se ci sono problemi ti scrivo i passaggi.
Per il secondo passaggio: ha raccolto $ e^(xy) $ e ha posto uguale a 0 ( $ e^(xy) $ non si annulla mai, quindi ha diviso tutto per quella quantità ). Se ci sono problemi ti scrivo i passaggi.
Sia $f(x)=(x+y−3)e^(xy)$
Moltiplicando membro a membro viene: $xe^(xy)+ye^(xy)−3e^(xy)$
Deriviamo prima rispetto alla x, utilizzando la derivazione del prodotto:
$e^(xy)+xye^(xy)+y^2e^(xy)−3ye^(xy)$
Deriviamo rispetto alla y, utilizzando la derivazione del prodotto:
$x^2e^(xy)+e^(xy)+xye^(xy)−3xe^(xy)$
Raccogliamo $e^(xy)$ sia nella derivazione rispetto a x che in quella rispetto a y e otteniamo:
$e^(xy)[1+xy+y^2−3y]$
$e^(xy)[x^2+1+xy−3x]$
Poichè dobbiamo cercare i punti critici della funzione, uguagliamo a zero le derivate mettendole a sistema (quella rispetto a x e quella rispetto a y):
$e^(xy)[1+xy+y^2−3y]=0$
$e^(xy)[x^2+1+xy−3x]=0$
A questo punto, poichè la funzione esponenziale $e^(xy)$ non si annulla mai, l'unica possibilità che abbiamo è
$1+xy+y^2−3y=0$
$x^2+1+xy−3x=0$
Da quì in poi hai difficoltà ad andare avanti?
Moltiplicando membro a membro viene: $xe^(xy)+ye^(xy)−3e^(xy)$
Deriviamo prima rispetto alla x, utilizzando la derivazione del prodotto:
$e^(xy)+xye^(xy)+y^2e^(xy)−3ye^(xy)$
Deriviamo rispetto alla y, utilizzando la derivazione del prodotto:
$x^2e^(xy)+e^(xy)+xye^(xy)−3xe^(xy)$
Raccogliamo $e^(xy)$ sia nella derivazione rispetto a x che in quella rispetto a y e otteniamo:
$e^(xy)[1+xy+y^2−3y]$
$e^(xy)[x^2+1+xy−3x]$
Poichè dobbiamo cercare i punti critici della funzione, uguagliamo a zero le derivate mettendole a sistema (quella rispetto a x e quella rispetto a y):
$e^(xy)[1+xy+y^2−3y]=0$
$e^(xy)[x^2+1+xy−3x]=0$
A questo punto, poichè la funzione esponenziale $e^(xy)$ non si annulla mai, l'unica possibilità che abbiamo è
$1+xy+y^2−3y=0$
$x^2+1+xy−3x=0$
Da quì in poi hai difficoltà ad andare avanti?
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