Aiuto:serie
vorrei perfavore chiedervi come si fa a trovare il valore di convergenza di queste serie....o almeno come si riconducono a serie geometriche o armoniche....grazie mille
$\sum_{n=3}^{+ oo} n/2^n$
$\sum_{n=3}^{+ oo} n/3^n$
$\sum_{n=3}^{+ oo} n/2^n$
$\sum_{n=3}^{+ oo} n/3^n$
Risposte
Beh, per come le hai scritte non c'è nessun passaggio da fare, o meglio uno solo.
ps. controlla l'indice di sommatoria... sicuro che sia [tex]$k$[/tex]?
poi, sicuro che sia da [tex]3[/tex] a [tex]N[/tex]?
Controlla meglio la traccia.
ps. controlla l'indice di sommatoria... sicuro che sia [tex]$k$[/tex]?
poi, sicuro che sia da [tex]3[/tex] a [tex]N[/tex]?
Controlla meglio la traccia.
si scusa ora l'ho corrette.Sono da 3 a infinito(N)
Spiegare compiutamente il procedimento per sommare quelle serie non è semplicissimo se non conosci qualcosa sulle serie di potenze...
Quindi aspettiamo che tu ci dia qualche indicazione in più.
Ad ogni modo, basta ricordare che una serie del tipo [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} n\ x^{n-1}$[/tex] è la derivata formale di [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$[/tex] e, per [tex]$|x|<1$[/tex], tale serie converge alla derivata della somma di [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$[/tex].
Quindi aspettiamo che tu ci dia qualche indicazione in più.
Ad ogni modo, basta ricordare che una serie del tipo [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} n\ x^{n-1}$[/tex] è la derivata formale di [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$[/tex] e, per [tex]$|x|<1$[/tex], tale serie converge alla derivata della somma di [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$[/tex].
Se vuoi solo sapere se converge (e non a cosa), puoi verificarlo con il criterio del rapporto, della radice o dell'integrale!
Per esempio con il criterio del rapporto:
Studio il limite:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2} \left( \frac{n+1}{n} \right) = \frac{1}{2}$[/tex]
[tex]$\frac{1}{2} < 1$[/tex] quindi la serie converge.
Criterio della radice:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2} \sqrt[n]{{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2} n^{\frac{1}{n}} =$[/tex]
[tex]$= \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2} e^{\frac{1}{n} log_{e} n}$[/tex] * [tex]$= \frac {1}{2}$[/tex]
[tex]$\frac{1}{2} < 1$[/tex] quindi la serie converge.
Insomma, puoi procedere come più ti piace, devi solo stare attendo a risolvere i limiti!
Se vuoi conoscere la somma, il discorso è più delicato.
Comunque la prima vale [tex]$1$[/tex].
La seconda è circa [tex]$0.2$[/tex]
Ti interessa il procedimento?
_______________________
*
Per [tex]$n \to +\infty$[/tex] il logaritmo è, volgarmente parlando, lento, quindi lo trascuro:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2} e^{\frac{1}{n} log_{e} n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2} e^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{2}$[/tex]
Per esempio con il criterio del rapporto:
Studio il limite:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2} \left( \frac{n+1}{n} \right) = \frac{1}{2}$[/tex]
[tex]$\frac{1}{2} < 1$[/tex] quindi la serie converge.
Criterio della radice:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2} \sqrt[n]{{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2} n^{\frac{1}{n}} =$[/tex]
[tex]$= \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2} e^{\frac{1}{n} log_{e} n}$[/tex] * [tex]$= \frac {1}{2}$[/tex]
[tex]$\frac{1}{2} < 1$[/tex] quindi la serie converge.
Insomma, puoi procedere come più ti piace, devi solo stare attendo a risolvere i limiti!
Se vuoi conoscere la somma, il discorso è più delicato.
Comunque la prima vale [tex]$1$[/tex].
La seconda è circa [tex]$0.2$[/tex]
Ti interessa il procedimento?
_______________________
*
Per [tex]$n \to +\infty$[/tex] il logaritmo è, volgarmente parlando, lento, quindi lo trascuro:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2} e^{\frac{1}{n} log_{e} n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2} e^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{2}$[/tex]
il procedimento mi interessa....soprattutto perchè dal mio libro di esercizi queste 2 serie sono indicate come "facili" da risolvere....o perlomeno lo credo visto che sono tra le prime negli esercizi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo