Aiuto!!!Dimostrazione teorema problema di Cauchy

[anto84gr-votailprof]

Ragazzi vi posto la dimostrazione di questo teorema fatta dal mio prof con alcuni miei dubbi

Il teorema dice:
Sia $ f:Ixx cc(R) rarr cc(R) $ , I aperto tale che:
1) f continua in $Ixx cc(R)$
2) per ogni $t_0 in I$ supponiamo che esista $ J(t_0) sub I $ tale che f è lipschitziana rispetto alla seconda variabile x in $J xx cc(R)$

Allora per ogni $(t_0,x_0) in I xx cc(R)$ esiste $r_0>0$ tale che il problema di Cauchy $ ( ( x'=f(t,x) ),( x(t_0)=x_0 ) ) $ ha soluzione unica in un intorno $ I(t_0,r_0) $

Allora la dimostrazione è questa:

Dalla seconda ipotesi si ha che f è lipschitziana quindi $ |f(t,x)-f(t,y)|leq L|x-y| $
Ora sia $r_1>0$ tale che $I(t_0,r_1)subJ$ (perchè?a cosa mi serve?)
Sia poi $I_r=I(t_0,r)$ tale che $0 Si considera $F:X_r rarr X_r$ tale che $F(u(t))=x_0+int_(t_0)^tf(s,u(s))ds$
Dimostriamo che per r sufficientemente piccolo, F è una contrazione in $X_r$ e quindi ha un unico punto fisso.Avremo quindi una soluzione unica del problema di Cauchy.

Dobbiamo verificare che esiste $alpha$ tale che $0leqalpha<1$ tale che $||F(u)-F(v)||_(X_r)leqalpha||u-v||_(X_r)$ dove $||u||=$sup$|u(t)|$
Prendiamo $u,vinX_r$ funzioni continue,allora
$|F(u(t))-F(v(t))|$ (perchè valore assoluto e non la norma?) $=.....leq Lint_(t_0)^t ||u-v||_(X_r)ds=L||u-v||_(X_r)(t-t_0)leqLr||u-v||_(X_r)$ (perchè questo ultimo passaggio?)
Quindi $Lr<1$ e avrò :
se $L=0$ ok
se $L>0$ avrò $r<1/L$ che è minore di 1
Quindi il teorema è dimostrato

[j18eos]

Prova a confrontarti con la medesima dimostrazione da pagina 7 a pagina 10 in tali appunti del professor Berti Massimiliano.

[anto84gr-votailprof]

Ma quello che vorrei capire è la dimostrazione del mio prof è giusta o manca qualcosa!!!E alcuni chiarimenti sulle parti selezionate!!!

[j18eos]

Infatti, in quelle dispense trovi la medesima dimostrazione!