Aiuto urgente per un integrale!!!!! help!!!!

[Wannabe1]

per favore mi serve un aiuto veloce!
nel compito in classe di domani la professoressa ha detto che ci sara' questo integrale

ma come si risolve?

$int 1/log(x)dx$

ho solo il risultato che ho trovato in questa pagina
http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_deg ... garitmiche
ma non so come ci si perviene!
mi potreste dire il procedimento per favore?
grazie

[fireball1]

Non si risolve l'integrale di $1/logx$... O perlomeno, non si scrive
in termini di funzioni elementari, come puoi vedere tu stessa
cliccando su Wikipedia... Non è affatto banale trovare quella serie.

[Wannabe1]

si questo l'ho notato,ma che cosa si e' utilizzato per arrivarci?
taylor? mclaurin?
nessuno ha lo sviluppo o conosce un link ad esso?

[fireball1]

Si potrebbe fare così, porre $logx=t$ ed ottenere quindi:
$int (e^t)/t dt$, e a questo punto usare lo sviluppo
in serie di Taylor di $e^t$: $e^t=sum_(k=0)^oo (t^k)/(k!)$
ed integrando si otterrebbe:
$log|t|+t+1/4 t^2 + 1/18 t^3 + ... = log|logx|+logx+1/4 log^2 x + 1/18 log^3 x + ...
A questo punto si può cercare di scrivere
una formula chiusa per la serie
$logx + 1/4 log^2 x + 1/18 log^3 x + ...
ed effettivamente questa serie è: $sum_(k=1)^oo (logx)^k/(k*k!)
(volendo si può dimostrare per induzione).
Quindi in conclusione, $int (dx)/(logx) = log|logx|+sum_(k=1)^oo (logx)^k/(k*k!)