Aiuto urgente per esercizi di calcolo differenziale
ciao ragazzi, mi aiutate a fare questi esercizi?
1) trovare l'integrale generale di $y'' + 2y'=x$ (a me viene $1/2(-1/2x^2+x-1)+c1e^(2x)+c2$)
2) trovare l'insieme di convergenza semplice e assoluta di $∑(-1)^n·(x^2/(n + √n))$ per n da 1 a infinito
3) stabilire se l'integrale $∫1/(x·√(x - 1))$ tra 1 e infinito converge
grazie mille!
1) trovare l'integrale generale di $y'' + 2y'=x$ (a me viene $1/2(-1/2x^2+x-1)+c1e^(2x)+c2$)
2) trovare l'insieme di convergenza semplice e assoluta di $∑(-1)^n·(x^2/(n + √n))$ per n da 1 a infinito
3) stabilire se l'integrale $∫1/(x·√(x - 1))$ tra 1 e infinito converge
grazie mille!
Risposte
Per quanto riguarda il secondo esercizio, sei sicuro di aver scritto bene?... Il fatto è che nella serie...
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n x^2/(n + sqrt n)$ (1)
... il termine $x^2$ può essere portato fuori e pertanto la serie risulta [semplicemente] convergente per tutte le $x$ ...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n x^2/(n + sqrt n)$ (1)
... il termine $x^2$ può essere portato fuori e pertanto la serie risulta [semplicemente] convergente per tutte le $x$ ...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Per il 3 ti suggerisco un confronto asintotico.
hai ragione la serie in realtà è questa:
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n x^n/(n + sqrt n)$
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n x^n/(n + sqrt n)$
ps: ho sbagliato titolo, gli esercizi sono di calcolo integrale!
Per il 3), l'integrale risulta convergente...
Infatti, per $x->+oo$, $1/(xsqrt(x-1)) ~~ 1/(x^(3/2))
che è un infinitesimo di ordine $3/2 > 1$.
Per $x->1^+$ invece $1/(xsqrt(x-1))$ è
un infinito di ordine $1/2<1$ rispetto a $x-1$.
Infatti, per $x->+oo$, $1/(xsqrt(x-1)) ~~ 1/(x^(3/2))
che è un infinitesimo di ordine $3/2 > 1$.
Per $x->1^+$ invece $1/(xsqrt(x-1))$ è
un infinito di ordine $1/2<1$ rispetto a $x-1$.
Si poteva anche direttamente calcolare l'integrale,
e vedere che il suo valore è $pi$.
e vedere che il suo valore è $pi$.
il 1) è giusto?
Sì, tranne che è $e^(-2x)$ e non $e^(2x)$.
$∫_{1}^{+infty}1/(x·√(x - 1))$
$x-1=t^2$ $->$ $x=t^2+1$ $->$ $dx=2tdt$
Inoltre $x=1$ $->$ $t=0$ ed $x=+infty$ $->$ $t=+infty$ per cui
$int_{1}^{+infty}1/(x·√(x - 1))=int_{0}^{+infty}(2t)/((t^2+1)*t)dt=2int_{0}^{+infty}1/(t^2+1)dt=2[arctg(t)]_0^(+infty)=2*pi/2=pi$
Per cui l'integrale converge.
$x-1=t^2$ $->$ $x=t^2+1$ $->$ $dx=2tdt$
Inoltre $x=1$ $->$ $t=0$ ed $x=+infty$ $->$ $t=+infty$ per cui
$int_{1}^{+infty}1/(x·√(x - 1))=int_{0}^{+infty}(2t)/((t^2+1)*t)dt=2int_{0}^{+infty}1/(t^2+1)dt=2[arctg(t)]_0^(+infty)=2*pi/2=pi$
Per cui l'integrale converge.
E' abbastanza inutile il calcolo laborioso dell'integrale; è decisamente più apprezzabile il ragionamento di confronto fatto da fireball, che risponde perfettamente alla domanda "stabilire se l'integrale converge".
grazie ragazzi siete gentilissimi!
mi dareste un'ultima mano con l'esercizio 2?
ve lo riposto qua:
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n x^n/(n + sqrt n)$
mi dareste un'ultima mano con l'esercizio 2?
ve lo riposto qua:
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n x^n/(n + sqrt n)$
E' una serie di potenze... prova il criterio del rapporto.
Per il 3), l'integrale risulta convergente...
Infatti, per $x->+oo$, $1/(xsqrt(x-1)) ~~ 1/(x^(3/2))
che è un infinitesimo di ordine $3/2 > 1$.
Per $x->1^+$ invece $1/(xsqrt(x-1))$ è
un infinito di ordine $1/2<1$ rispetto a $x-1$.
mi dareste una spiegazione per questi passaggi?
cioè per $x->+oo xsqrt(x-1)$ si comporta come $x^(3/2)$ perchè in questo caso $1$ è trascurabile giusto?
mentre non ho capito il caso di $x->1^+$...
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