Aiuto un dubbio su i campi conservativi!
Studiando la teoria delle forme differenziali lineari e dei campi conservativi mi è venuto un dubbio... Nei miei appunti ho un teorema che mi dice che se ho un campo conservativo allora esso ammette infiniti potenziali che differiscono per una costante... E fino a qui non ci sono problemi... Ma subito dopo c'è un altro teorema che mi dice che se considero due potenziali di uno stesso campo non è detto che essi differiscano per una costante ( con tanto di controesempio ), a meno che l'insieme di definizione del campo sia connesso..... Ma cosa c'entra che deve essere connesso?!?! Nella dimostrazione non trovo nessun passaggio che sfrutta questa ipotesi...
Vi prego aiutatemi a capire!!!!! Grazie...
Vi prego aiutatemi a capire!!!!! Grazie...
Risposte
Spero di aver capito giusto il tuo problema. Prima di tutto fisso il linguaggio. Come ti è noto si parla indistintamente di campo come funzione $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$,o forma differenziale (le cui componenti sono le componenti del campo vettoriale) e potenziale $V$ o primitiva della forma differenziale (potenziale del campo). Io utilizzerò il linguaggio del campo vettoriale. La famosa triade in questi problemi è la seguente:
a) Campo che ammette potenziale (o equivalentemente nel linguaggio delle forme differenziali si dice forma differenziale esatta)
b) campo irrotazionale (o forma differenziale chiusa) ovvero se $F(x_1...x_n)= (F_1(x_1...x_n)....F_n(x_1...x_n))$ significa che:
$$\partial F_i/\partial x_j= \partial F_j/\partial x_i$$
c)campo conservativo ovvero il lavoro (integrale di linea) non dipende dalla curva scelta ma solo dagli estremi.
Ora se a) è vera, sono vere b) e c). Affinchè c) implichi a) occorre che il dominio $A$ del campo $F$ sia connesso ovvero che si possa connettere due qualsiaisi punti di $A$ con un cammino continuo (curva regolare a tratti) tutto contenuto in $A$ ed è ciò che utilizzi nella dimostrazione se vedi. Perciò, ad esempio A non può essere costituito da "due isole separate". Se scegli due punti uno su un'isola e l'altro sull'altra non potranno mai essere congiunti con una curva totalmente contenuta in A. Poi b) implica a) se A è semplicemente connesso (ovvero in parole povere connesso e senza buchi all'interno, dunque se è semplicemente connesso è anche ovviamente connesso).
Se A non è connesso non puoi avere un unico potenziale su tutto A, tuttavia se puoi dividere A in tanti insiemi connessi (A1...Am), se in ognuno di essi F è conservativo allora avrai su ognuno di essi un potenziale. Se Vi è il potenziale su Ai e se Vj è il potenziale su Vj, in generale Vi è diverso da Vj.
Considera ora ad esempio il seguente campo:
$$ F(x,y)= ( 1, \frac{|y|}{|y|^a})$$
con $a\in\mathbb{N}\setminus\{2\}$
Esso è definito su tutto il piano eccetto la retta $x$. Tuttavia sul semipiano, al di sopra dell'asse $x$ (che è un insieme semplicemente connesso) è irrotazionale e dunque è conservativo ed ammette potenziale (sul semipiano superiore). Lo stesso dicasi per il semipiano inferiore (al di sotto dell'asse $x$). Ho tirato in ballo anche l'irrotazionalità poichè con tale proprietà si prova immediatamente che il campo è conservativo (altrimenti occorrerebbe provare che l'integrale su OGNI linea chiusa è 0 il chè è arduo!!!). Comunque in soldoni F è conservativo (separatamente) sia sotto che sopra. Vedrai ora che i due potenziali (quello del piano sup e del piano inf sono diversi!!!!!! appunto perchè non può esserci un unico potenziale su A visito che quest'ultimo è sconnesso perchè è il piano $xy$ privato dell'asse "x"). Per calcolarci il potenziale consideriamo una curva $\gamma$ composta dalle curve:
$$ (x(t)=0; y(t)=t), t\in[y_0,y]$$
$$ (x(t)=t, y(t)=y), t\in[0,x]$$
ove $y_0$ è fissato.
Praticamente è una retta spezzata a forma di $\Gamma$. E' chiaro che quando andremo a calcolare il potenziale superiore va considerata nel piano superiore ($y_0, y$ devono essere positivi), mentre per il potenziale inferiore si considera la curva nel piano di sotto ($y_0, y$ minori di zero).
Il potenziale sarà allora:
$$ V(x,y)= \int_0^x dt + \int_{y_0}^y |t|^{1-a}dt= x + \int_{y_0}^y |t|^{1-a}dt$$
Nel piano superiore $y>0$. Dalla definizione del modulo ($|a|=a$ se $a>0$ e $|a|=-a$ se $a<0$) ponendo $|t|=u$ abbiamo:
$$ V(x,y)= x + \int_{|y_0|}^{|y|} u^{1-a}du= x+ \frac{|y|^{2-a}-|y_0|^{2-a}}{2-a}$$
Visto che $y_0$ si fissa, allora $-|y_0|^{2-a}/(2-a)$ è una costante cosicchè possiamo porre semplicemente per il piano sup:
$$ V(x,y)=x+ \frac{|y|^{2-a}}{2-a}$$
Nel caso invece del piano inferiore, ove $y<0$, ponendo al solito $|t|=u$ si perviene facilmente con analoghi calcoli a:
$$ V(x,y)=x- \frac{|y|^{2-a}}{2-a}$$
Dunque i due potenziali sono diversi, ma questo non deve meravigliare poichè A non è connesso
a) Campo che ammette potenziale (o equivalentemente nel linguaggio delle forme differenziali si dice forma differenziale esatta)
b) campo irrotazionale (o forma differenziale chiusa) ovvero se $F(x_1...x_n)= (F_1(x_1...x_n)....F_n(x_1...x_n))$ significa che:
$$\partial F_i/\partial x_j= \partial F_j/\partial x_i$$
c)campo conservativo ovvero il lavoro (integrale di linea) non dipende dalla curva scelta ma solo dagli estremi.
Ora se a) è vera, sono vere b) e c). Affinchè c) implichi a) occorre che il dominio $A$ del campo $F$ sia connesso ovvero che si possa connettere due qualsiaisi punti di $A$ con un cammino continuo (curva regolare a tratti) tutto contenuto in $A$ ed è ciò che utilizzi nella dimostrazione se vedi. Perciò, ad esempio A non può essere costituito da "due isole separate". Se scegli due punti uno su un'isola e l'altro sull'altra non potranno mai essere congiunti con una curva totalmente contenuta in A. Poi b) implica a) se A è semplicemente connesso (ovvero in parole povere connesso e senza buchi all'interno, dunque se è semplicemente connesso è anche ovviamente connesso).
Se A non è connesso non puoi avere un unico potenziale su tutto A, tuttavia se puoi dividere A in tanti insiemi connessi (A1...Am), se in ognuno di essi F è conservativo allora avrai su ognuno di essi un potenziale. Se Vi è il potenziale su Ai e se Vj è il potenziale su Vj, in generale Vi è diverso da Vj.
Considera ora ad esempio il seguente campo:
$$ F(x,y)= ( 1, \frac{|y|}{|y|^a})$$
con $a\in\mathbb{N}\setminus\{2\}$
Esso è definito su tutto il piano eccetto la retta $x$. Tuttavia sul semipiano, al di sopra dell'asse $x$ (che è un insieme semplicemente connesso) è irrotazionale e dunque è conservativo ed ammette potenziale (sul semipiano superiore). Lo stesso dicasi per il semipiano inferiore (al di sotto dell'asse $x$). Ho tirato in ballo anche l'irrotazionalità poichè con tale proprietà si prova immediatamente che il campo è conservativo (altrimenti occorrerebbe provare che l'integrale su OGNI linea chiusa è 0 il chè è arduo!!!). Comunque in soldoni F è conservativo (separatamente) sia sotto che sopra. Vedrai ora che i due potenziali (quello del piano sup e del piano inf sono diversi!!!!!! appunto perchè non può esserci un unico potenziale su A visito che quest'ultimo è sconnesso perchè è il piano $xy$ privato dell'asse "x"). Per calcolarci il potenziale consideriamo una curva $\gamma$ composta dalle curve:
$$ (x(t)=0; y(t)=t), t\in[y_0,y]$$
$$ (x(t)=t, y(t)=y), t\in[0,x]$$
ove $y_0$ è fissato.
Praticamente è una retta spezzata a forma di $\Gamma$. E' chiaro che quando andremo a calcolare il potenziale superiore va considerata nel piano superiore ($y_0, y$ devono essere positivi), mentre per il potenziale inferiore si considera la curva nel piano di sotto ($y_0, y$ minori di zero).
Il potenziale sarà allora:
$$ V(x,y)= \int_0^x dt + \int_{y_0}^y |t|^{1-a}dt= x + \int_{y_0}^y |t|^{1-a}dt$$
Nel piano superiore $y>0$. Dalla definizione del modulo ($|a|=a$ se $a>0$ e $|a|=-a$ se $a<0$) ponendo $|t|=u$ abbiamo:
$$ V(x,y)= x + \int_{|y_0|}^{|y|} u^{1-a}du= x+ \frac{|y|^{2-a}-|y_0|^{2-a}}{2-a}$$
Visto che $y_0$ si fissa, allora $-|y_0|^{2-a}/(2-a)$ è una costante cosicchè possiamo porre semplicemente per il piano sup:
$$ V(x,y)=x+ \frac{|y|^{2-a}}{2-a}$$
Nel caso invece del piano inferiore, ove $y<0$, ponendo al solito $|t|=u$ si perviene facilmente con analoghi calcoli a:
$$ V(x,y)=x- \frac{|y|^{2-a}}{2-a}$$
Dunque i due potenziali sono diversi, ma questo non deve meravigliare poichè A non è connesso
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