Aiuto Trasformata di Fourier
Per evitare di aprire più discussioni,posto qui i vari dubbi e problemi che sto avendo con la trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni.
Primo esercizio:
$F(cos(t-π))$
Ora non vorrei sbagliare ma tale trasformata la devo fare nel senso delle distribuzioni poichè il coseno non è di $L^1(R)$.Detto ciò procedo in tal modo:
$F(cos(t-π))=1/2 F(e^(j(t-π))+e^(-j(t-π)))=1/2 F(e^(-πj)e^(tj)+e^(-tj)e^(πj))=1/2 (e^(-πj) F(e^(tj))+e^(πj)F(e^(-tj))=e^(-πj)(πδ(ω-1))+e^(πj)(πδ(ω+1))=$
$=-πδ(ω-1)-πδ(ω+1)$
Secondo esercizio:
$F(t/(t^2+4))$
Anche questa è da risolvere nel senso delle distribuzioni?Perchè di fatto la funzione è infinitesima all'inifinito di ordine $1$ e dunque non sommabile,però la posso sempre vedere come una trasformata di una funzione sommabile $1/(t^2+4)$ per un polinomio di ordine $t$ ed applicare la proprietà,ma probabilmente fare questo è sbagliato e la trasformata rimane non "legale" ed è quindi da risolvere nel senso delle distribuzioni.
Procedo così:
$F(t/(t^2+4))=F(t (1/(t^2+4)))=1/4 F(t (1/((t/2)^2+1)))=π/8j d/(dω) (e^|(ω/2)|)$
dove ho utilizzato la trasformata di $1/(t^2+1)$ e fatto il riscalamento.Ora però il problema è la derivata,devo farla in senso classico o delle distribuzioni?Penso nel senso delle distribuzioni,anche se in ogni caso le due dovrebbero coincidere poichè non vi sono discontinuità,detto ciò quando vado a derivare lo faccio per $ω<0$ e per $ω>0$ dicendo che per $ω=0$ la derivata non c'è,dunque viene così:
$-π/(16)j (e^((-ωsign ω)/2)sign ω)$
Terzo ed ultimo (finalmente
) esercizio:
$F((e^(-jt) d/(dt)(P_2(t)))\star t sen t))$(per $P_2(t)$ intendo una porta di ampiezza 2 centrata in $t=0$)
derivo due volte la porta ed ottengo:
$d/(dt)(P_2(t))=δ'(t+1)-δ'(t-1)$
Poi applico la trasformata di una convoluzione:
$F(e^(-jt) d/(dt)(P_2(t) \star t sen t))=F(e^(-jt)(δ'(t+1)-δ'(t-1))) F(t sent)$
Però poi come procedo?Qual è la trasformata della derivata della delta di diràc?Come posso risolvere alternativamente?Inoltre la convoluzione iniziale ha senso(ovvero $t sent$ è di $L^1(R)$)?
Datemi una mano...
Grazie
Primo esercizio:
$F(cos(t-π))$
Ora non vorrei sbagliare ma tale trasformata la devo fare nel senso delle distribuzioni poichè il coseno non è di $L^1(R)$.Detto ciò procedo in tal modo:
$F(cos(t-π))=1/2 F(e^(j(t-π))+e^(-j(t-π)))=1/2 F(e^(-πj)e^(tj)+e^(-tj)e^(πj))=1/2 (e^(-πj) F(e^(tj))+e^(πj)F(e^(-tj))=e^(-πj)(πδ(ω-1))+e^(πj)(πδ(ω+1))=$
$=-πδ(ω-1)-πδ(ω+1)$
Secondo esercizio:
$F(t/(t^2+4))$
Anche questa è da risolvere nel senso delle distribuzioni?Perchè di fatto la funzione è infinitesima all'inifinito di ordine $1$ e dunque non sommabile,però la posso sempre vedere come una trasformata di una funzione sommabile $1/(t^2+4)$ per un polinomio di ordine $t$ ed applicare la proprietà,ma probabilmente fare questo è sbagliato e la trasformata rimane non "legale" ed è quindi da risolvere nel senso delle distribuzioni.
Procedo così:
$F(t/(t^2+4))=F(t (1/(t^2+4)))=1/4 F(t (1/((t/2)^2+1)))=π/8j d/(dω) (e^|(ω/2)|)$
dove ho utilizzato la trasformata di $1/(t^2+1)$ e fatto il riscalamento.Ora però il problema è la derivata,devo farla in senso classico o delle distribuzioni?Penso nel senso delle distribuzioni,anche se in ogni caso le due dovrebbero coincidere poichè non vi sono discontinuità,detto ciò quando vado a derivare lo faccio per $ω<0$ e per $ω>0$ dicendo che per $ω=0$ la derivata non c'è,dunque viene così:
$-π/(16)j (e^((-ωsign ω)/2)sign ω)$
Terzo ed ultimo (finalmente
) esercizio:$F((e^(-jt) d/(dt)(P_2(t)))\star t sen t))$(per $P_2(t)$ intendo una porta di ampiezza 2 centrata in $t=0$)
derivo due volte la porta ed ottengo:
$d/(dt)(P_2(t))=δ'(t+1)-δ'(t-1)$
Poi applico la trasformata di una convoluzione:
$F(e^(-jt) d/(dt)(P_2(t) \star t sen t))=F(e^(-jt)(δ'(t+1)-δ'(t-1))) F(t sent)$
Però poi come procedo?Qual è la trasformata della derivata della delta di diràc?Come posso risolvere alternativamente?Inoltre la convoluzione iniziale ha senso(ovvero $t sent$ è di $L^1(R)$)?
Datemi una mano...
Grazie
Risposte
I primi due esercizi mi sembrano corretti Nel secondo hai ragione a dire che $t/(1+t^2)$ non e' $L^1$ e che quindi la trasformata non e' un integrale;
si potrebbe notare che pero' tale funzione e' $L^2$ (energia finita) e quindi ha un qualche senso senza dover tirare in ballo le distribuzioni. Comunque
per calcolare la trasformata il modo che hai usato tu e' quello giusto.
Per il terzo esercizio passo (non mi sono chiari alcuni termini) comunque mi pare che qui le distribuzioni siano inevitabili - pero' posso dirti che la trasformata della $\delta$ e' $1$!
si potrebbe notare che pero' tale funzione e' $L^2$ (energia finita) e quindi ha un qualche senso senza dover tirare in ballo le distribuzioni. Comunque
per calcolare la trasformata il modo che hai usato tu e' quello giusto.
Per il terzo esercizio passo (non mi sono chiari alcuni termini) comunque mi pare che qui le distribuzioni siano inevitabili - pero' posso dirti che la trasformata della $\delta$ e' $1$!
Per li terzo ho pensato di utilizzare la proprietà della convoluzione:
$F(x'(t) \star y(t)))=F(x(t) \star y'(t)$ in modo tale da evitare la derivata della porta,conoscere subito la sua trasformata e andare a derivare $t sent$ per poi fare la trasformata,che dovrebbe essere abbordabile.
$F(x'(t) \star y(t)))=F(x(t) \star y'(t)$ in modo tale da evitare la derivata della porta,conoscere subito la sua trasformata e andare a derivare $t sent$ per poi fare la trasformata,che dovrebbe essere abbordabile.
"darinter":
Per li terzo ho pensato di utilizzare la proprietà della convoluzione:
$F(x'(t) \star y(t)))=F(x(t) \star y'(t)$ in modo tale da evitare la derivata della porta,conoscere subito la sua trasformata e andare a derivare $t sent$ per poi fare la trasformata,che dovrebbe essere abbordabile.
Per la trasformata di $t\sin(t)$ puoi usare il fatto che $\sin(t)=\frac{e^{i t}\cdot 1-e^{-i t }\cdot 1}{2 i}$ e ricordare che $F(1)=\2\pi\delta$.
Comunque se la porta e' la funzione che vale $1$ su un intervallo $[a,b]$ e $0$ fuori allora la sua derivata non e' cosi' male - viene infatti $\delta_a-\delta_b$ che si trasforma bene.
EDIT Scusa avevo letto molto frettolosamente il terzo esercizio.
Perche' non fai
$F((e^{-jt}\frac{d}{dt}P_2(t)t\sin(t))=F((e^{-jt}(\delta(t+1)-\delta(t-1))t\sin(t))=F((e^{-jt}\delta(t+1)t\sin(t))-F((e^{-jt}\delta(t-1)t\sin(t))=$ (!!!)
$F((e^{j}\delta(t+1)(-1)\sin(-1))-F((e^{-j}\delta(t-1)(1)\sin(1))=e^{j}\sin(1)F(\delta(t+1)-e^{-j}\sin(1)F(\delta(t-1))=...$
"ViciousGoblin":
[quote="darinter"]Per li terzo ho pensato di utilizzare la proprietà della convoluzione:
$F(x'(t) \star y(t)))=F(x(t) \star y'(t)$ in modo tale da evitare la derivata della porta,conoscere subito la sua trasformata e andare a derivare $t sent$ per poi fare la trasformata,che dovrebbe essere abbordabile.
Per la trasformata di $t\sin(t)$ puoi usare il fatto che $\sin(t)=\frac{e^{i t}\cdot 1-e^{-i t }\cdot 1}{2 i}$ e ricordare che $F(1)=\2\pi\delta$.
Comunque se la porta e' la funzione che vale $1$ su un intervallo $[a,b]$ e $0$ fuori allora la sua derivata non e' cosi' male - viene infatti $\delta_a-\delta_b$ che si trasforma bene.[/quote]
Si la porta è quella,il problema è che devo derivarla due volte quindi escono le deivate prime della delta di dirac da trasformare.
"darinter":
[quote="ViciousGoblin"][quote="darinter"]Per li terzo ho pensato di utilizzare la proprietà della convoluzione:
$F(x'(t) \star y(t)))=F(x(t) \star y'(t)$ in modo tale da evitare la derivata della porta,conoscere subito la sua trasformata e andare a derivare $t sent$ per poi fare la trasformata,che dovrebbe essere abbordabile.
Per la trasformata di $t\sin(t)$ puoi usare il fatto che $\sin(t)=\frac{e^{i t}\cdot 1-e^{-i t }\cdot 1}{2 i}$ e ricordare che $F(1)=\2\pi\delta$.
Comunque se la porta e' la funzione che vale $1$ su un intervallo $[a,b]$ e $0$ fuori allora la sua derivata non e' cosi' male - viene infatti $\delta_a-\delta_b$ che si trasforma bene.[/quote]
Si la porta è quella,il problema è che devo derivarla due volte quindi escono le deivate prime della delta di dirac da trasformare.[/quote]
Ah scusa - pero' mi pare che nel testo originario ci fosse una derivata sola (almeno all'inizio ..) Beh allora e' un po' piu' complicato. Mi pare che ti servano due cose:
1) $F(delta')=i\omega$ (se valgono le proprieta' formali della trasformata ... VALGONO!!)
2) Ti serve anche sapere quanto fa $\delta'\psi$ dove $\psi$ e' una funzione $C^\infty$ - se ti fidi della formula di derivazione del prodotto (se vuoi lo possiamo dimostrare)
hai $(\delta\psi)'=\delta'\psi+\delta\psi'=\delta'\psi+\delta\psi(0)$ Dato che $(\delta\psi)'=(delta\psi(0))'=\delta'\psi(0)$ ottieni infine $\delta'\psi=\delta' \psi(0)-\delta\psi'(0)$
Per la verita', nel tuo caso devi anche translare i discorsi sopra di $\pm 1$ ... vedi se ci cavi qualcosa
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