Aiuto trasformata di Fourier
Ciao a tutti, qualcuno saprebbe spiegarmi come calcolare la trasformata di Fourier di \(\displaystyle cos (2t+1) \)?
Risposte
Hai provato tu in prima persona? Se sì, mostraci dove hai avuto problemi. Se no, al lavoro!
Ho provato applicando le proprietà delle trasformate \(\mathcal {F} (T(t-t0))(\nu) \) e \(\mathcal {F} (T(at))(\nu) \) ottenendo però un risultato diverso rispetto a quello riportato
"Raptorista":
... mostraci dove hai avuto problemi. Se no, al lavoro!
Riporto il mio procedimento:
\(\mathcal {F} (cos(2t+1))(\nu)=\dfrac{1}{2} \mathcal {F} (cos(t+1))(\dfrac {\nu}{2})=\dfrac {1}{2} e^{\pi i \nu}\mathcal{F}(cos(t))(\dfrac {\nu}{2})=\dfrac{1}{2} e^{\pi i \nu} (\delta_{1/\pi}+\delta_{-1/\pi}) \)
chiedo scusa per la formattazione dell'ultima parte ma sto usando per la prima volta questa sintassi, intendo la delta calcolata in \(\dfrac{1}{\pi} \) e \(-\dfrac{1}{\pi} \)
\(\mathcal {F} (cos(2t+1))(\nu)=\dfrac{1}{2} \mathcal {F} (cos(t+1))(\dfrac {\nu}{2})=\dfrac {1}{2} e^{\pi i \nu}\mathcal{F}(cos(t))(\dfrac {\nu}{2})=\dfrac{1}{2} e^{\pi i \nu} (\delta_{1/\pi}+\delta_{-1/\pi}) \)
chiedo scusa per la formattazione dell'ultima parte ma sto usando per la prima volta questa sintassi, intendo la delta calcolata in \(\dfrac{1}{\pi} \) e \(-\dfrac{1}{\pi} \)
"gianmarcoc_":
Riporto il mio procedimento:
\(\mathcal {F} (cos(2t+1))(\nu)=\dfrac{1}{2} \mathcal {F} (cos(t+1))(\dfrac {\nu}{2})=\dfrac {1}{2} e^{\pi i \nu}\mathcal{F}(cos(t))(\dfrac {\nu}{2})=\dfrac{1}{2} e^{\pi i \nu} (\delta_{1/\pi}+\delta_{-1/\pi}) \)
chiedo scusa per la formattazione dell'ultima parte ma sto usando per la prima volta questa sintassi, intendo la delta calcolata in \(\dfrac{1}{\pi} \) e \(-\dfrac{1}{\pi} \)
Fai un errore nel primo passaggio. La variabile sarebbe $2t+1=2(t+1/2)$, quindi c'è una dilatazione per $2$ e una traslazione di $-1/2$
ti ringrazio, dunque il risultato è \(\dfrac{1}{2} e^{\dfrac{\pi}{2}i\nu}(\delta_(1/\pi)+\delta_(-1/\pi)) \) ?
Dunque, a me la trasformata viene così:
$$F(\cos(2t+1))[\nu]=F\left(\cos\left[2\left(t+\frac{1}{2}\right)\right]\right)[\nu]=\frac{1}{2}e^{i\pi\nu}\cdot F(\cos t)[\nu/2]=\\ \frac{1}{4}e^{i\pi\nu}\left[\delta\left(\frac{\nu}{2}-\frac{1}{2\pi}\right)+\delta\left(\frac{\nu}{2}+\frac{1}{2\pi}\right)\right]$$
$$F(\cos(2t+1))[\nu]=F\left(\cos\left[2\left(t+\frac{1}{2}\right)\right]\right)[\nu]=\frac{1}{2}e^{i\pi\nu}\cdot F(\cos t)[\nu/2]=\\ \frac{1}{4}e^{i\pi\nu}\left[\delta\left(\frac{\nu}{2}-\frac{1}{2\pi}\right)+\delta\left(\frac{\nu}{2}+\frac{1}{2\pi}\right)\right]$$
Ho capito gli errori, grazie mille 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo